Сандық талдау туралы мәлімет

Егер бойда функциясы y(x) болса , онда бұл дегеніміз, кез-келген рұқсат етілген мәніне х сопоставлено мәні. Бірақ жиі көрсетіледі, бұл табу осы маңызы өте трудоемко. Мысалы, у(х) ретінде айқындалуы мүмкін шешім күрделі міндеттері, х рөл атқарады параметр немесе у(х) өлшенеді дорогостоящем экспериментке. Бұл ретте можно вычислить шағын кестеге мәндердің функциялары, бірақ тікелей табу функциялары тұрғанымыздай мәндерін сапасын қайта қарастыруды сұрайды болады іс жүзінде мүмкін емес. Функциясы у(х) қатыса алады, қандай да бір физика-техникалық немесе таза математикалық есеп айырысу, онда оны тура келеді бірнеше рет есептеуге болады. Бұл жағдайда тиімді деген функциясы у(х) жақындатылған формуламен, яғни таңдау кейбір функциясы j (х), ол жақын мағынада к у(х) және жай ғана шығарылады. Содан кейін барлық мәндері сапасын қайта қарастыруды сұрайды ойлайды у(х) » j (х).

Басым бөлігі классикалық сандық талдау негізделеді жақындағаны многочленами, себебі олармен жұмыс істеу оңай. Алайда, көптеген мақсаттар үшін пайдаланылады және басқа да сыныптар функциялар.

Таңдап тораптық нүктелер мен сынып приближающих функцияларын, біз тағы таңдап бір белгілі бір функциясын осы сынып арқылы біраз өлшем — белгілі бір шаралар жақындау немесе «келісім». Бастамас бұрын есептеулер, біз шешуге тиіс сондай-ақ, қандай дәлдігі біз болуы жауапта және қандай критерий біз изберем өлшеу үшін осы дәлдік.

Барлық жоғарыда баяндалғанды тұжырымдауға болады түрінде төрт сұрақтар:

Қандай тораптар үшін пайдаланатын боламыз?

Қандай сынып приближающих функцияларын үшін пайдаланатын боламыз?

Қандай келісім критерийі біз қолданылмайды?

Қандай дәлдігі біз?

Алайда, 3-сынып немесе топ функцияларын кеңінен қолданылатын сандық талдау. Бірінші топ қамтиды сызықтық комбинациясы функцияларын 1, х, х 2 , … , х n , бұл сәйкес келеді сыныппен барлық многочленов дәрежесі n (немесе одан кем). Екінші класс құрайды функциялары cos a i x, sin a i x. Бұл класс қатысы Фурье қатары және интегралу Фурье. Үшінші топ құрылады функциялары e -az . Бұл функцияларды кездеседі, нақты жағдайларда. Оларға, мысалы, әкеледі міндеттері жинақталу және ыдырау.

Бұл өлшем келісім, онда классикалық критерий келісім болып табылады «дәлме-дәл сәйкестік тораптық нүктелерінде». Бұл критерий артықшылығы қарапайымдылығы теориясы мен орындау есептеулер, бірақ сондай-ақ тиімсіз-елемеу шу (қателіктерді, туындайтын өлшеу кезінде немесе есептеу мәндерін тораптық нүктелерінде). Басқа қарағанда жақсы критерий — бұл ең кіші шаршылар». Ол квадраттар сомасы ауытқу тораптық нүктелерінде болуы тиіс ең төмен мүмкін немесе, басқа сөзбен айтқанда, ықшамдалған. Бұл критерий пайдаланады қате ақпарат алу үшін біраз сезімдік шу. Үшінші критерий байланысады атымен Чебышев. Негізгі идеясы оның ішінде азайту үшін барынша ауытқуы есептеледі. Әлбетте, болуы мүмкін басқа критерийлер.

Одан да нақты жауап беруге қойылған 4 мәселенің тек сүйене отырып, жағдайлар мен мақсаттары, әрбір жеке міндеттері.

Многочленами Интерполяция
Мақсаты міндеттері жақындағаны туралы (интерполяция): функцияны у(х) талап етіледі шамамен деген кейбір функциясы j (х), оның қасиеттері бізге белгілі болатындай ауытқуы берілген облыс бойынша ең төмен. интерполяционные формулалар қолданылады, ең алдымен, ауыстыру кезінде графикалық түрде берілген функцияларды талдау үшін, сондай-ақ интерполяция-кестелерінде көрсетілген.

Әдістері интерполяция Лагранж және Ньютон
Бірі-тәсілдерді міндет интерполяция әдісі Лагранж. Негізгі идеясы бұл әдіс, ең алдымен, табу многочлен, мәнін қабылдайды 1 бір тораптық нүктесінде 0 барлық басқа. Оңай көріп, жүз функциясы болып табылады талап етілетін многочленом дәрежесі n ; ол 1-ге тең, егер x=x j және 0 болғанда, x=x i , i № j . Многочлен L j (x) Ч y j қабылдайды маңызы бар қаланың y i i — ші тораптық нүктесінде және 0-ге тең барлық басқа тораптарда. Бұл бар многочлен дәрежесі n арқылы өтетін n+1 нүктесі ( x i , y i ).

Басқа тәсіл — Ньютон әдісі (метод бөлінген разностей). Бұл әдіс алуға мүмкіндік береді аппроксимирующие маңызы бар функцияларды құрмай, айқын түрде аппроксимирующего полинома. Нәтижесінде аламыз формуласын үшін полинома P n , аппроксимирующую функциясын f(x):

P(x)=P(x 0 )+(x-x 0 ), P(x 0 ,x 1 )+(x-x 0 )(x-x 1 )P(x 0 ,x 1 ,x 2 )+…+

(x-x 0 )(x-x 1 )…(x-x n )P(x 0 ,x 1 ,…,x n );

— қызметін нақты бөлу айырмасы 1-ші тәртібін;

— қызметін нақты бөлу айырмасы 2-ші тәртібін және т. б.

Маңызы бар қаланың P n (x) түйіндерінде ұқсас мәндермен f(x)

Нақты формуласын Лагранж және Ньютон туындатады бір полином, айырмашылық тек алгоритмі оны құру.

Сплайн-аппроксимациялау
Басқа әдісі аппроксимация — сплайн-аппроксимациялау — ерекшеленеді полиномиальной аппроксимация Лагранжем және Ньютон. Сплайном деп аталады функциясы, ол бірге бірнеше туынды непрерывна на бөліктегі [a, b] , ал әрбір жеке аралықтағы осы кесіндінің [x i , x i+1 ] жеке болып табылады кейбір многочленом төмен дәрежесі. Қазіргі уақытта қолданады текше сплайн, яғни әрбір жергілікті аралықтағы функция жақындап полиному 3-ші ретті. Қиындықтар мұндай аппроксимация байланысты төмен дәрежесі полинома, сондықтан сплайн жаман аппроксимируется үлкен бірінші туынды. Сплайновая интерполяция ескертеді лагранжевую талап ететіндерге ғана маңызы бар түйіндерде, бірақ оның туынды.

Ең кіші квадраттар әдісі
Болжаймыз, не қажет деген кейбір шамасын жасалып, n өлшеу нәтижелері тең x i =x+ e i (i=1, 2, …, n) , онда e i — бұл қателіктер (немесе шу) өлшем, ал х — шынайы мәні. Ең кіші квадраттар әдісі бекітеді, бұл ең жақсы жақын мәні бар мұндай саны, аз квадраттар сомасы ауытқу :

Бірі-жалпы жағдайларды қолдану бұл әдістің артықшылығы сол, қолда бар n бақылау ( x i , y i ) (i=1, 2, …, n) талап етіледі жақындатуға многочленом дәрежесі m<n

y(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a m x m

Есептелген қисық у(х) мағынада береді күрделі көптеген мәндері у і . Ең кіші квадраттар әдісі бекітеді, бұл таңдау керек многочлен, минимизирующий опцияны таңдаңыз.

Болу үшін минимум дифференцируем  әрқайсысы бойынша белгісіз a k . Нәтижесінде аламыз:

Анықтаушы осы жүйенің отличен нөлден мен міндеті бар жалғыз шешім. Бірақ жүйесі дәрежелі емес ортогональна, және үлкен мәндері n-міндет жаман негізделген. Бұл қиындық болады айналып пайдалана отырып, көпмүшелер ортогональные берілген салмағы негізінде берілген жүйе нүктелерінің, бірақ осы асығады тек міндеттері, байланысты әсіресе мұқият статикалық өңдеу эксперимент.

Чебышев Полиномы
Критерийлері келісім осы әдіс — барынша азайту, барынша көп қателер.

Чебышев Полиномы мынадай түрде анықталады: T n (x)=cos(n Ч arccos(x))

Мысалы: T 0 (x)=cos(0)=1,

T 1 (х)=cos( q )=x,

T 2 (x)=cos(2 q )=cos 2 ( q )-sin 2 ( q )=2x 2 -1.

Еді және әрі қарай пайдалануға тригонометриялық қатынасын табу үшін Чебышев полиномов кез келген тәртіпті, бірақ жақсы болады орнату үшін рекурентное қатынасы, байланыстырушы T n+1 (x), T n (х) және T n-1 (x):

T n+1 (x)=cos(n q + q )=cos(n, q )cos( q )-sin(n-q )sin( q ),

T n-1 (x)=cos(n q — q )=cos(n, q )cos( q )-sin(n-q )sin( q ).

Ала қалыптасқан бұл теңсіздік аламыз:

T n+1 (x)+T n-1 (x)=2cos(n-q )cos( q )=2xT n (x);

T n+1 (x)=2xT n (x)-T n-1 (x).

Қолдана отырып, алынған формулаларды табуға болады кез келген полином Чебышев. Мысалы, Т-3 (x)=2xT 2 (x)-T 1 (х). Подставляя мәндері T 2 (х) Т 1 (х) имеем Т 3 (х)=2х(2х 2 -1)-х=4х 3 -3х. Графикалық алғашқы 10 Чебышев полиномов бейнеленген төмен. Келесі полиномы әлі де ауытқуда арасындағы +1 және -1, әрі тұрақсыз кезеңінде азаяды өсуімен тәртібін полинома.

Түрлендіру q =arccos(x) ретінде қарастыруға болады жобаларына жатады кесіп полукруга көптеген тікелей бар тең бұрыштары бір-бірімен (сур.1). Осылайша, көптеген нүктелері x j , онда жүйе чебышевских многочленов T n (x) ортогональна, мынадай:

, (j=0, 1, 2, …,N-1)

Өйткені T n (x) бар, мәні бойынша, cos(n, q ) , онда олар равноколеблющимеся функциялары, және олар көпмүшелер, онда ие барлық қасиеттері бар ортогоналды многочленов.

Чебышев көрсеткендей, барлық многочленов Р n (x) n дәрежелі аға коэффициенті 1, многочлена нақты жоғарғы грань абсолюттік мәндерін арналған аралығында -1 Ј x Ј 1 аз. Өйткені жоғарғы грань T n (x)=1, көрсетілген жоғарғы грань тең .

Практикалық тапсырма
Практикада бізге керек зерделеп, жақындауға, біздің функцияларды полиномами Тейлор.

Жоғарыда аталғандай, көпмүшелер Тейлор оңай есептеуге, сондай-ақ айналдыруға » тейлор қатары. Бұл біз және тәжірибеде көз жеткіздік.

Төменде ұсынылған кесте коэффициенттері алғашқы 12 Чебышев полиномов, сондай-ақ кесте коэффициенттерін алдында полиномами Чебышев білдіретін алғашқы 12 дәрежелі. х.

Бұл деректер, біз пайдалана отырып, бағдарламаның беттерінде

Бұл бағдарламаларда қолданылды келесі алгоритмдер:

Түрлендіру коэффициенттерін полинома Чебышев бұл коэффициенттер дәстүрлі многочлена.

Енгіземіз коэффициенттері a 0 , a 1 , …, a n многочлена T(x) және образуем массив a i .

Үшін j=2, 3, …, n және k=n, n-1, …, j бірінші жағдайда жоғарлау, ал екінші спускаясь жүргіземіз, түрлендіру коэффициенттерін мына формулалар бойынша:

а) a k-1 =a k-2 -a k

б) a k =2a k

Нәтижесінде аламыз коэффициенттері полинома P n (х)

Түрлендіру коэффициенттерін полинома P n (х) коэффициенттері полинома T n (x)

Енгіземіз коэффициенттері полинома P n (x) — i

Үшін j=n, n-1, …, 2 және k=j, j+1, …, n бірінші жағдайда спускаясь, ал екінші жоғарлау жүргіземіз, түрлендіру коэффициенттерін мына формулалар бойынша:

а) a k =a k /2

б) a k 2 =a k-2 +a k

с) a 0 =2a 0

Нәтижесінде аламыз полинома коэффициенттері Т n (x). Қызық болар еді», — білуге, қандай қатені аламыз ыдырауы кезінде степенной жөніндегі функцияларды полиномам Чебышев. Бұл үшін пайдалана отырып, жоғарыда сипатталған алгоритмдері мен алдымен атынан функциясын y=x n (мұндағы n сигнал 1-ден 10) арқылы Чебышев полиномы ( T n ) , содан кейін бағалау үшін қатені чебышевское ыдырауы қайтадан превращал бұл многочлен. Орындап осы операцияларды алдым жеткілікті болады қызықты нәтижелері. Үшін тақ n қате өте мардымсыз болғандықтан, оның әрең ажыратуға болады диаграммалар (- бет ). Үшін жұп бірдей дәрежелі байқаймыз ығысуы кестесін, алынған нәтижесінде түрлендіру, төмен салыстырмалы түрде түпнұсқасын. Бұл түсіндіруге болады төмендегідей. Үшін жылжу кестесін жауапты коэффициенті алдында x 0 . Еске алайық алгоритмдері, олар салынды, сондықтан әрбір алдыңғы коэффициенті формула арқылы кейіннен. Яғни накапливающаяся қате есептеулер көп әсер коэффициенті кезінде x 0 . Бұл салдары болып табылады ығысуы кестелер жұп дәрежелі, өйткені олардың ыдырауы бар бұл коэффициент. Ескереміз, сондай-ақ, бұл ығысуы ыдырауы кезінде функция y=x 2 артық ыдырауы кезінде функция y=x 10 . Бұл да оңай түсіндіруге болады, өйткені ұлғайту кезінде дәрежеде үлес T 0 бөлуден степенной функциялары азаяды. Бұл тақ дәрежелі болса, онда біз мұндай жақсы совпадение өйткені жұп коэффициенттері бөлуден тақ дәрежелі, тең 0, ал коэффициенттері барлық дәрежелері x басқа , нөлдік әсер етеді ғана ауытқуы тармақтары. Растау бұл қызмет графика бетінде .

Келесі кезең жұмыс болып табылады жақындату полиномами Чебышев еркін функциялары. Бастапқы ретінде функциялары мен алды функциясын y=sin(4x/3) . Пайдаланылатын жұмыс бағдарламасы ұсынылған бетінде . Үшін оны жазу пайдаланылған келесі алгоритмі:

Жақындату функциясы f(x) Чебышеву.

Задаем дәрежесін многочлена n T n (x) шектері [a; b] өзгерістер сапасын қайта қарастыруды сұрайды функциясы f(x).

Үшін i=0, 1, …, n бөліктегі [-1; 1] қалыптастырамыз торға оңтайлы мәндерін сапасын қайта қарастыруды сұрайды түйіндерінде чебышевской интерполяция:

Ауыстырамыз » кесінді [a; b]:

және вычисляем f(x i )

Үшін k=0, 1, …, n және i=0, 1, …, n вычисляем:

Нәтижесінде аламыз коэффициенттері a 0 , a 1 , …, a n многочлена T ( ), — деді функциясын f(x).

Есептеу мәндерін T(x) келесі алгоритм бойынша орындалады:

Санағанда берілген массив a k , задаем жады астында массиві n+2 қосалқы коэффициенттерін b k . Осыған b n+2 =0, b n+1 =0.

Задаем маңызы бар x [a; b] және ауыстырамыз оларды кесінді [-1; 1] көмегімен қайта құрулар:

Үшін k=n, n-1, …, 1 вычисляем b k =a k -b k+2 +2xb k+1 .

Табамыз T(

)=a 0 /2 — b 2 +xb 1

Сондай-ақ, бағдарлама пайдаланылды ыдырауы бірқатар Тейлор салыстыру үшін разложением бойынша полиномам Чебышев. Ең алдымен, мен қарады жақындату аралығында [-1; 1] . Наложив жұмыс sin(4x/3) кестесін жақындау полиномами Чебышев кестесі, салынған жіктеу көмегімен бірқатар Тейлор отырмын, өте дәл сәйкес келеді. Көзбен ажыратуға болмайды үш қисық. Қарастырайық кестесі қателер. Сәйкес теориясымен қате Чебышев знакопеременна және жолағы, немесе одан кем біркелкі бүкіл аралыққа. Қате сол Тейлор шағын шамамен 0 және қатты ұлғаяды жақындаған кезде — 1 (ескереміз, бұл және басқа да жағдайларда бірқатар Тейлор құрамында бірдей дәрежеде x , бірақ басқа коэффициенттерімен). Қызықты қарап, жақындауға анағұрлым ұзақ аралықтарда. Арналған аралығында [-1; 1] жақындауға полиномами Чебышев 7-ші дәрежелі жеткілікті жақсы, бірақ аралықтағы [-10; 10] жақындауға осы дәрежесі өте нашар (- бет ). Қарастырайық жақындату, сол аралықтағы полиномом неғұрлым жоғары дәрежесін (T-11 ) . Аламыз, жақсы жақындату, әрі кестеде өте айқын көрінеді, бұл қате бөлінген біркелкі. Мұнда тағы да еді салыстыруға разложением бірқатар Тейлор. Егер көруге графика бетінде , біз көреміз, бұл жақындату көмегімен қатарлар Тейлор өте жақсы ортасында аралығының, бірақ қатты ауытқыса эталон ұшында. Салыстырайық қателер чебышевского жақындау және жақындау арқылы қатарлар Тейлор. Бұл ретте, салыстырғанда анық байқалады қасиеттері, Чебышев полиномов — максималды қате аз пайдалану кезінде бірқатар Тейлор.

Сонымен, біз, бұл үлкен аралықтағы жақсы жақындату салуға болады, тек пайдалана отырып, жеткілікті үлкен дәрежесі. Шын мәнінде, елестету қиын жақындату бірнеше кезеңдер синуса көмегімен полиномов 3 — ші, 4-ші, 5-ші дәрежелі түб мүлдем мүмкін емес 1-ші және 2-ші.

Чебышев Полиномы береді өте жақсы жақындату функциясы мағынада, бұл ең үлкен қате-бұл жақындау аз, бірақ бұл жақындау өте қиын есептеуге болады. Әдетте, салыстырмалы түрде шағын азайту қателер болмайды қатар еңбек, демалыс жұмсауға табу бұл жақындау. Сондықтан Чебышев полиномы пайдаланылады түзету үшін ыдырау бірқатар Тейлор. Табу түзетілген коэффициенттерді білдіреді үлкен күрделілігі, сондықтан бұл әдіс деп аталатын экономизацией степенного ряда үшін қолданылуы мүмкін күнделікті бағдарламалау.