Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика

Жоспар реферат

Кіріспе.

1. Операциялар оқиғаларға толы болды.

2. Частость оқиға болған.

2.1. Қасиеттері частости.

3. Аксиоматика ықтималдықтар теориясы.

3.1. Құру вероятностного кеңістік.

3.2. Теорема жалғастыру туралы шаралар.

4. Анықтау вероятностного кеңістік.

4.1. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

4.2. Шартты ықтималдық.

5. Негіздеме формулалар шартты ықтималдық жалпы жағдайда.

5.1. Тәуелсіз оқиғалар.

6. Формуласы ықтималдықтарды қосу.

6.1. Толық ықтималдық формуласы.

7. Формула Байеса.

Кіріспе.
Ықтималдық теориясы туындады ғылым ретінде бірі-сендіру, бұқаралық кездейсоқ оқиғалар жатыр детерминирленген заңдылықтары. Ықтималдықтар теориясы зерттейді деректер заңдылықтары.
Мысалы: айқындауға сөзсіз нәтижесі көтен «бүркіт» немесе «решки» нәтижесінде подбрасывания монеталар болмайды, бірақ при многократном подбрасывании-шашын шамамен бірдей саны «орлов» және «решек».

Сынақ деп аталады іске асыру белгілі бір жағдайлар кешенін, оны ойнату мүмкін шексіз рет. Бұл ретте кешені шарттарын қамтиды кездейсоқ факторлар, оны іске асыру әрбір сынау әкеледі бір келкі нәтижесіне сынау.
Мысалы: сынау — подбрасывание монеталар.
Нәтижесі сынақ болып табылады оқиға. Оқиға болады:
Дұрыс (әрдайым сынау нәтижесінде);
Невозможное (ешқашан жүреді);
Кездейсоқ (болуы мүмкін немесе нәтижесінде болуы мүмкін сынақтар).
Мысалы: подбрасывании кубик невозможное оқиға — кубик болады қабырға, кездейсоқ оқиға — жоғалту қандай да бір қырлары.
Нақты сынақ нәтижесі деп аталады қарапайым оқиға.
Сынау нәтижесінде орын ғана қарапайым оқиғалар.
Жиынтығы барлық ықтимал, әр түрлі, нақты нәтижелерінің сынау деп аталады элементар оқиғалар кеңістігі.
Мысалы: Сынау — подбрасывание шестигранного кубик. Қарапайым оқиға — жоғалту грани «1» немесе «2».
Жиынтығы элементар оқиғалар бұл элементар оқиғалар кеңістігі.

Күрделі оқиға деп аталады еркін подмножество кеңістіктің элементар оқиғалар.
Күрделі оқиға сынау нәтижесінде туындайды, сонда тек сонда ғана, қашан сынақ нәтижесінде оқиға қарапайым оқиға, тиесілі күрделі.
Осылайша, егер сынау нәтижесінде орын алуы мүмкін бір ғана қарапайым оқиға болса, онда сынау нәтижесінде болып жатқан барлық күрделі оқиғалар, құрамына осы қарапайым.
Мысалы: сынау — подбрасывание кубик. Қарапайым оқиға — жоғалту қырлары нөмірі «1». Күрделі оқиға — жоғалту тақ қырлары.
Қосамыз мынадай белгілер:
Ал оқиға;
w — элементтері кеңістік W;
W — элементар оқиғалар кеңістігі;
U — элементар оқиғалар кеңістігі ретінде шынайы оқиға;
V — невозможное оқиға.
Кейде ыңғайлы болу үшін қарапайым оқиғалар боламыз белгілеу Еі, Qi.

1. Операциялар оқиғаларға толы болды.
1. Оқиға C сомасы деп аталады A+B, егер ол барлық элементар оқиғалар кіретін де, A және B. бұл Ретте, егер қарапайым оқиға кіреді және A, B, C ол кіреді. Сынақ нәтижесінде оқиға C жүреді, сол кезде болған оқиға кіретін, немесе А немесе В Сомасы ерікті санын оқиғалардың тұрады, барлық элементар оқиғалар кіретін бірі Ai, i=1, …, m.

2. Оқиға C туындысы A және B, егер ол барлық элементар оқиғалар кіретін және A және B. Туындысы болса, онда санының оқиғалар деп аталады оқиға тұратын элементар оқиғалар кіретін барлық Ai, i=1, …, m.

3. Разностью оқиғалардың A-B деп аталады оқиға C тұратын барлық элементар оқиғалар кіретін A, бірақ кіретін B.

4. Оқиға деп аталады қарама-қарсы оқиға A, егер ол қанағаттандыратын екі қасиеттері.
Формулалар де Моргана:

5. Оқиғалар A және B деп аталады несовместными, егер олар ешқашан болуы мүмкін нәтижесінде бір сынақ.
Оқиғалар A және B деп аталады несовместными, егер олар жалпы элементар оқиғалар.
C=A?B=V
Мұнда V — бос емес көптеген.

2. Частость оқиға болған.
Болсын элементар оқиғалар кеңістігі әрине тұрады m элементар оқиғалар. Бұл жағдайда ретінде ықтимал нәтижелерінің сынау қарайды 2m оқиғалардың көптеген барлық подмножеств кеңістіктің элементар оқиғалар W и невозможное оқиға Шешімі.
Мысалы:
W=(w1, w2, w3)
A1=V
A2=(w1)
A3=(w2)
A4=(w3)
A5=(w1, w2)
A6=(w2, w3)
A7=(w1, w3)
A8=(w1, w2, w3)
Белгілейміз жүйесін осы оқиғалар арқылы F. Берем өз бетімен оқиға AIF. Өткіземіз сериясын сынау саны n. n — сынақтар саны, әрқайсысында оқиға A.
Частостью оқиға A, n сынақтар саны деп аталады

2.1. Қасиеттері частости.

Частость шынайы оқиғалар тең 1. Wn(U)=1.
Частость сомасын жұп несовместных оқиғалардың тең частостей.
Қарастырайық жүйесін Ai, i=1, …, k; оқиғалар жұп несовместны, т. е.
Оқиға
Мейлі, нәтижесінде біраз сынау оқиға A. анықтау Бойынша сумы бұл білдіреді, бұл сынау болды біраз оқиға Ai. Өйткені барлық оқиғалар жұп несовместны, онда бұл, ешбір оқиға Aj (i?j) осы сынау өтуі де мүмкін емес. Демек:
nA=nA1+nA2+…+nAk

Ықтималдықтар теориясы пайдаланылады сипаттау кезінде тек сынақ үшін орындалады болжам: кез-келген оқиға A частость осы оқиға басталғаннан кез келген шексіз сериясы сынақ бар белгілі бір шегі, ол деп аталады ықтималдықпен оқиғаның A.
Демек, егер қаралады болу ықтималдығы болса, онда оқиғалар, біз түсінеміз, бұл сан келесі түрде: бұл частость оқиға болған шексіз (жеткілікті ұзын) сериялы сынау.
Өкінішке орай, әрекет мүмкіндігін айқындау шегі ретінде частости, оның ішінде сынақ ұмтылатын шексіздік, сәтсіз аяқталды. Дегенмен америкалық ғалым Мизес теориясын құрды ықтималдық негізделген бұл анықтау, бірақ мойындады үлкен санының ішкі логикалық сәйкессіздік.
Ықтималдықтар теориясы ғылым ретінде салынды арналған аксиоматике Колмогоров.

3. Аксиоматика ықтималдықтар теориясы.
3.1. Құру вероятностного кеңістік.
Дәйекті түрде құрамыз ықтималдықтар кеңістігі.
1-кезең:
Бар сынау. Нәтижесінде сынақ жүргізу байқалуы мүмкін бір оқиға сериясынан оқиғалардың e. Барлық оқиғалар жүйесінен e аталады наблюдаемыми. Енгізу жайында болжам, егер оқиғалар A I e, B I e наблюдаемы, онда наблюдаемы мен оқиғалар .
Жүйесі оқиғаларды F деп аталады өрісі оқиғаның немесе оқиғалардың алгебра, егер екі произвольных оқиғалардың A, B I F орындалады:

Толықтыру
(A+B) I F (A?B) I F
барлық түпкілікті сомасын элементтерінің бірі-алгебра тиесілі алгебра
барлық соңғы шығармалары элементтерінің бірі-алгебра тиесілі алгебра
барлық толықтырулар ақырғы сомалары мен шығармаларының тиесілі алгебра.
Осылайша, жүйесін e біз кеңейтеміз дейін алгебра немесе өріс F қосу арқылы барлық түпкілікті сомасын, туындылар, және олардың өзгерістер. Т. е. деп санаймыз жүргізу нәтижесінде сынау байқалып отырған жүйе болып табылады өрісі немесе алгебра.
Көптеген барлық подмножеств соңғы санының оқиғалар болып табылады бақыланатын жүйесі — алгебра, өрісі.
2 кезең:
Әрбір оқиғаға A I F қоямыз сәйкес саны P(A) деп аталады ықтималдықпен оқиғаның A. операция салықтар вероятностную қалыпты.

Вероятностная мера — сандық скалярная функция дәлелдер болып табылатын элементтер жүйесінің алгебра F. Енгізілген вероятностная мера қанағаттандырады жүйесі үш аксиома.

P(U)=1.
Қарастырайық соңғы немесе бесконечную жүйесін жұп несовместных оқиғалардың әрқайсысы тиесілі алгебра F.
. Егер болса , онда .
Оқиғалар алгебрасы деп аталады s — алгебра, егер бұл жүйе оқиғаларды қамтиды барлық ақырғы сомалары мен шығармаларын алгебра F және оларды толықтыру, сондай-ақ барлық шексіз сомасы мен шығармашылығынан » алгебра және оларды толықтыру.
Мысалы: кеңістікте R1 зададим өріс оқиғалардың барлығы соңғы аралықтары түрін a?x>b, b?a.
Тарату осы алгебра, s — алгебру әкеледі ұғымына борелевской алгебра, оның элементтері деп аталады борелевскими множествами. Борелевская алгебра сонда ғана кеңейтумен өріс түрі: a?x>b, және кеңейтумен, өріс түрін a>x?b, a?x?b.
Үстінен кездесетін өрісі оқиғалардың F қойылады есеп-аддитивті өлшем — сандық скалярная функциясы, элементтері болып табылатын элементтері өріс F, т. б оқиғалар. Ол қанағаттандырады мынадай үш шарттары-аксиомам ықтималдықтар теориясы.

. P(A) — саны тиесілі сегмент [0, 1] және называющееся ықтималдықпен оқиғаның A.
P(A) I — [0, 1] P(U)=1.
Болсын бар A1, A2, A3,…, Ak — жүйесі жұп несовместных оқиғалар
Егер болса , онда .

3.2. Теорема жалғастыру туралы шаралар.
Сөздің ең төменгі s — алгебру тиесілі өріс оқиғалар F (мысалы, борелевская s — алгебра — бұл ең кіші s — алгебра қамтитын өріс барлық полуинтервалов ненулевой ұзындығы).
Сонда дәлелденеді, есеп-аддитивті функция P(A) әрине, барлық элементтерге қолданылады ең төменгі s — алгебра және бұл ретте бірде-бірі аксиома емес бұзылады.
Осылайша, мерзімі ұзартылған P(A) деп аталады және s — аддитивті түзетудің шарасы.
s — алгебра құрамында ненаблюдаемые оқиғалар қатар наблюдаемыми.
Бірақ аксиоматической теориясы ықтималдығы болып саналады, бұл орын алуы мүмкін кез келген оқиға-дан s — алгебра.
Өрісін кеңейту қадағаланатын оқиғаларды s — алгебру байланысты мүмкін еместігіне алуға негізгі нәтижелері ықтималдық жоқ ұғымдар s — алгебра.

4. Анықтау вероятностного кеңістік.
Вероятностным кеңістігі деп аталады үштік (W, s, P), онда
W — элементар оқиғалар кеңістігі, салынған осы сынау;
s — s-алгебра, берілген арналған W — жүйеде ықтимал оқиғалардың, ол қызықтырады зерттеуші, нәтижесінде жүргізілетін сынақ;
P — s — аддитивті өлшемі, т. е. s — аддитивті неотрицательная функциясы, дәлелдер болып табылатын дәлелдерді s — алгебра және удовлетворяющая үш аксиомам ықтималдықтар теориясы.

4.1. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.
Болсын W тұрады соңғы санының элементар оқиғалар және барлық қарапайым оқиғалар равновероятны, т. е. бірде-біреуі оның ішінде беруге болмайды артықшылық дейін сынау, демек, олардың деп санауға болады равновероятными.
Сонда шынайы оқиға m — саны равновероятных оқиғалар
, ,
Мейлі, өз бетімен оқиға Сол кезде , яғни оқиға A тұрады k элементар оқиғалар.
Егер элементар оқиғалар тең құқықты, ал, демек, және равновероятными, онда болу ықтималдығы болса, онда оқиғалар тең бөлшек алымы оның санына тең элементар оқиғалар кіретін осы, а бөлімі — жалпы саны элементар оқиғалар.

4.2. Шартты ықтималдық.
P(A/B)
Шартты ықтималдығы оқиға A, кезде оқиға B ықтималдығы деп аталады оқиға A сынау нәтижесінде, егер белгілі болса, бұл сынау оқиға B.
Қорытынды формулалар шартты ықтималдық жағдайы үшін равновероятных элементар оқиғалар

Шынымен де, осы сынақ болды бірін t оқиғалардың кіретін B. Барлық қарапайым оқиғалар равновероятны, демек, осы сынаққа болу ықтималдығы болса, онда қарапайым оқиғалар кіретін B тең 1/t. Сонда классикалық ықтималдығын анықтау, осы сынау оқиға A интернет ықтималдылығы r/t.

Жалпы жағдайда дәлелдеу, осы тұжырымын, мүмкін емес, ықтималдық теориясының ол алғаш әдетте. Тек түсіндіру осы формулалар.

5. Негіздеме формулалар шартты ықтималдық жалпы жағдайда.
Болсын nB сынақтар оқиға B, ал nA сынақтар оқиға A. Табамыз шартты частость оқиға A шартымен оқиға B. Біз мұны негіздеу үшін формулалар, т. к. ықтималдықпен оқиғаның түсініледі шегі частости оқиға басталған жағдайда, серия сынақ жеткілікті ұзын.
Шартты частость

Қарастыра отырып, AB бір оқиға ретінде D иеміз:

екінші жағынан

Қарастырайық жүйесін оқиғалар A1, A2,…,Ak. Көрсетеміз, бұл ықтималдығы, олардың бірлескен басталған тең:

Дәлел өткіземіз бойынша мат индукция.
Формула тең үшін 2 және 3 — (қараңыз: бұрын)
Болсын формуласы дұрыс үшін k-1.

Қосамыз оқиға B.

P(A1A2…Ak-1)=P(B)
P(A1A2…Ak)=P(AkB)=P(B)?P(AkB)

5.1. Тәуелсіз оқиғалар.
Екі оқиғалар А және в тәуелсіз деп аталады, егер P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) дәлелдеу.
Бұл жағдайда болу ықтималдығы екі оқиғалар A және B тең болса, онда P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),
бұл ретте көрсетеміз, P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)
Оқиғалар A1A2…Ak аталады тәуелсіз бір-бірімен, егер ықтималдығы, олардың бірлескен басталған ; . Екі тәуелсіз оқиғалар совместны.
* Егер оқиғалар несовместны, онда P(A/B)=0 және P(B/A)=0, т. к. олар тәуелсіз болса, онда P(A/B)=P(A) P(B/A)=P(B), т. е. бекіту «тәуелсіз оқиғалар несовместны», т. б. P(A)=0 және P(B)=0 болса, онда бұл бекітуге дұрыс болар еді.

6. Формуласы ықтималдықтарды қосу.

U — шынайы оқиға

Көрсетеміз, бұл оқиғалар несовместны.
* Егер оқиғалар несовместны, онда ; ;
яғни оқиғалар несовместны.
Ал, үштен аксиоме ықтималдықтар теориясы

Әділ мынадай теңдік негізінде (1) заңының және дистрибутивности

Показать өзі, ол барлық үш көптеген жұп несовместны.

Негізінде бірінші және үшінші ықтималдық теориясының аксиомалары аламыз:

Орын теңдік , показать өзі, несовместны

Бойынша үштен аксиоме:

Емтихан дәлелдеуге өзі формуласын сомасы ерікті санының оқиғалар

6.1. Толық ықтималдық формуласы.
Қарастырайық жүйесі A-дан k жұп несовместных оқиғалар.
B1, B2, …, Bk
Болсын берілді оқиға A қанағаттандыратын теңдікке A=B1A+B2A+…+BkA.
Көрсету, бұл оқиғалар B1A, B2A, BkA жұп несовместны. BiABjA=BiBjAA=VAA=V
Табу ықтималдығы оқиға A. Кез келген оқиға кіретін A, міндетті түрде кіреді, біраз, бірақ бір Bi, B1, B2, …, Bk құрайды толық тобы.
Т. к. B1, B2, …, Bk несовместны, онда үштен аксиоме ықтималдық теориясының иеміз:
; т. е.

Мысалы: Бар урналар үш құрамды

Бір
5 қоқыс жәшігі

6 ақ және 3 қара шар

Екі

3 урналар

10 ақ және 1 қара

Үш

7 урна

0 ақ және 10 қара

Барлық шарлар әрбір жәшігіндегі перемешаны.
Сынау — шар алынады. Қандай ықтималдығы, бұл ретте шығарылды белый шар.
B1 — тартып шығарыңыз да, кез-келген шар жәшіктен 1.
B2 — тартып шығарыңыз да, кез-келген шар жәшіктен 2.
B3 — тартып шығарыңыз да, кез-келген шар жәшіктен 3.
A — Извлечь ақ шар.
A=B1A+B2A+B3A
B1, B2, B3 — жұп несовместны.
Толық ықтималдылық формуласы: P(A)=P(B1) — P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)

P(B1)=1/3
P(A/B1)=6/9=2/3

P(B2)=1/5

P(A/B2)=10/11

P(B3)=7/15

P(A/B3)=0

P(A)=1/3?2/3+1/5?11/10+7/15?0=2/9+2/11=40/99″0.4

7. Формула Байеса.
Міндеттер қою, сол, бірақ шешеміз кері міндет.
Сынақ жүргізіледі, оның нәтижесінде оқиға A. Қандай ықтималдығы, бұл сынау оқиға Bi.
Шартты ықтималдығы деп аталады апостериорными, сөзсіз — априорными вероятностями.
P(ABi)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)
Қайдан,
Осылайша, Байеса формуласы:

Композиция сынау.
Бар ықтималдықтар кеңістігі, ол туындатады сынау 1.

мұндағы Ei, i=1, …, m1 — элементар оқиғалар кеңістігі нәтижесінде сынау.
P(Ei), i=1, …, m1 — ықтималдық элементар оқиғалар.
Сынау 2 туындатады ықтималдықтар кеңістігі түрі

P(Ei), P(Qj) — әр түрлі ықтимал шаралар.
Өтті екі сынақ деп аталады күрделі сынау тұратын мінез-бірінші және екінші сынау.
Композиция сынау тудырады ықтималдықтар кеңістігі түрі:

EiQj — композициялық оқиға.
Жалпы жағдайда, P(Ei) және P(Qj) найти P(EiQj) мүмкін емес.
Қарастырайық жеке жағдайда, ол жасауға болады.
Екі сынақтар тәуелсіз деп аталады, егер әр түрлі нәтижелері екі сынақ анықталады байланыссыз бір-бірімен кездейсоқ факторлар.
Из айқындау тәуелсіздік сынау туындамаса, бұл шартты частости оқиғаның бір сынау шартымен, екінші сынау оқиғасы тіркелген оқиғалардың саны тең сөзсіз частостям, егер олар бар.
Берсін сынау тәуелсіз болады. Нәтижесінде бірінші сынақ болды қарапайым оқиға Еі, нәтижесінде екінші сынау бәрі болуы мүмкін.
Сонда күрделі оқиға айқындайтын нәтижесі бірінші және екінші сынау түрлері бар:
мен сияқты сомасында құрамаларынан нәтижелерінің бірінші және екінші сынау.
Ықтималдығы күрделі оқиғалар A.
, т. е. нәтижелері екінші сынақ нәтижелеріне байланысты.
Егер нәтижесінде екінші сынақ оқиға Qj, ал нәтижесінде бірінші сынақ еді орын алуы мүмкін нәрсе, онда күрделі оқиға B түрі бар: .
Ықтималдығы күрделі оқиғалар B сомасына тең ықтималдық құрамаларынан түрін EiQj, i=1, …, m1
т. б. нәтижелері бірінші сынау әсер етпейді нәтижелері екінші сынақ. Бірі фактісі: P(AB)=P(A)P(B/A); P(B/A)=P(B); AB=EiQj (дәлелдеу керек)
A={EiQ1, EiQ2, …, EiQj, …, EiQm2}
B={E1Qj, E2Qj, …, EiQj, …, Em1Qj}
Анықтау бойынша туындыны AB оған ғана болатын оқиғалар кіреді: A, B. Бірі-жоғарыда келтірілген формулаларды ғана оқиға EiQj кіреді және A, B, онда AB= EiQj. Керек:

Композициялық кеңістік түрі бар:
Жалпы құрылымы тәуелсіз оқиғалардың композиционном кеңістікте порожденном өтті сынау:

т. е. нәтижесінде бірінші сынақ болды қарапайым оқиғалар: .
Нәтижесінде екінші сынау оқиғалар: .
Күрделі оқиға B айқындайды барлық ықтимал комбинациялар нәтижелерінің екі сынақ бір-біріне тәуелсіз. Нәтижесінде бірінші сынақ болды қарапайым оқиғалар: .
Нәтижесінде екінші сынау оқиғалар: .
Сонда:
т. б. екінші сынау әсерін тигізбейді.

т. к., (дәлелдеу керек)
онда
Практикалық міндеттерді шешу, байланысты тәуелсіз сынақтар, әдетте, талап етілмейді салып, композициялық кеңістіктердің қарапайым оқиғалар, пайдалану формальды қате жазба: P(A?B)=P(A)?P(B).
Композиция n сынақтар.
Бар n сынақтар. Зададим үшін i-ші сынақ ықтималдықтар кеңістігі:
i=1, …, n
Композициясымен n сынақтар деп аталады күрделі сынау тұратын бірлескен өткізу n сынақтар. Қойылады n сынақтар, ықтималдықтар кеңістігі әрқайсысының түрі бар:
i=1, …, n
Композициялық кеңістік түрі бар:
j1=1, …, m1; j2=1, …, m2; jn=1, …, mn;

Композиция n тәуелсіз сынақтар.
Сынау (n — сынақтар) деп аталады тәуелсіз, егер түсініксіздіктер нәтижесіне әрбір сынақ емес анықталған өзара байланысты факторлардың топтары.
Оқиға A1: жүргізу нәтижесінде композициялық сынау бірінші сынау оқиға . Сонда
Оқиға An: жүргізу нәтижесінде композициялық сынау бірінші сынау оқиға . Сонда

i=1, …, n
Қарастырайық оқиға:
Күші айқындау тәуелсіздік сынақ әлбетте, бұл:

.
Сондықтан: .
Іс жүзінде жоқ салуда композициялық кеңістіктер, жазады формальды дұрыс емес формула: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
Композициялық кеңістік түрі бар:
j1=1, …, m1; j2=1, …, m2; jn=1, …, mn;
Жалпы құрылымы тәуелсіз оқиғалардың композиционном кеңістікте түрі бар:

1-ші оқиға —
бұл оқиға » деп 1-ші вероятностном кеңістікте

2-ші оқиға —

бұл оқиға, ол жүреді, 2-ші вероятностном кеңістікте

n — оқиға —

бұл оқиғаны жүреді n-м вероятностном кеңістікте

Қарастырайық екі ықтималды кеңістік.