Дененің ауырлық орталығы

Туралы түсінік ауырлық орталығы алғашқы рет зерттелді шамамен 2200 жыл бұрын грек геометром Қаласындағы, ең үлкен математик ежелгі. Содан бері, бұл ұғым болды маңызды механикада, сондай-ақ мүмкіндік берді салыстырмалы оңай шешуге кейбір геометриялық есептер.
Дәл осы қосымша геометрия біз қарастыратын боламыз. Ол үшін енгізу керек кейбір анықтамалар мен түсініктер. Астында материалдық нүкте деп түсінеді нүкте, снабженную массасы. Көрнекілік үшін болады, өзіне физикалық ұсынуға материалдық нүкте түрінде кішкентай ауыр шардың көлемі, оны елемеуге болады. Осыған байланысты біз жиі көрсетуі тек сандық мәні сол немесе өзге де физикалық шама, бірақ тойлағалы оның атауы есептегенде, ол өзінен өзі түсініледі. Мысалы, өрнек: «D ABC жағы BC тең a, үстіне A біз помещаем массасын a» білдіреді: «Ұзындығы тараптар ВСравна a сантиметр, ал салмағы, белгінің үстіне «A тең a грамм».
Егер нүктесінде A қыз массасы m болса, онда образующуюся материалдық нүктеге боламыз белгілеу: (A, m). Кейде, алайда, бұл емес, тудыруы мүмкін түсінбеушілік, біз оны белгілеу бір әрпі A. Массасын миногда «деп атайды жүктемемен нүктесін A».
Ауырлық центрі екі материалдық нүкте (A, а) және (B, b) деп аталады және мұндай үшінші нүктесі C, ол жүктеледі жолының AB және қанағаттандырады «ереже тетігі»: шығарма оның арақашықтық CA нүктеден Ал массасына сол сияқты шығармасы оның қашықтыққа СВ нүктесінен В массасына b; осылайша,
.
Бұл тепе-теңдік жазуға болады сондықтан:
,
яғни қашықтық ауырлық орталығының екі материалдық нүктелердің дейін осы нүктелерді кері пропорционалды жұртқа, орналастырылған осы нүктелерінде. Ауырлық орталығы болады жақын нүктесінде үлкен массасы. Из анықтау керек: егер түзу арқылы өтеді ауырлық орталығы екі материалдық нүктелер арқылы бір болса, онда ол өтеді және арқылы басқа.
Ауырлық орталығы екі материалдық нүктелері бар өте қарапайым механикалық мағынасы. Соларды өзіне қатаң «жеңіл» АВ стержень, ұшында оның орналастырылуы тиіс массасын аи b (сур. 1). «Невесомость» өзектің іс жүзінде білдіреді, оның массасы салыстырғанда республикада ақпан аи bнастолько шамалы, бұл оны елемеуге болады. Ауырлық орталығы Сәйкес материалдық нүкте (A, а) және (B, b)— бұл нүкте, керек подпереть өзек AB, ол үшін тепе-теңдік.

АЛ 5 С15В

сур. 2

Үшін одан әрі пайдалы, сондай-ақ ұғымын енгізу «бірлестік» немесе равнодействующей екі материалдық нүктелері. Осы біз түсіну материалдық нүкте, ол ойдағыдай болады, егер ауырлық орталығында екі материалдық нүкте орналастыру массасын екі нүкте.

A C B
D

сур. 1

Мысал. Болсын ұшында невесомого жұқа өзек AB (сур. 2), оның ұзындығы тең 20 бірлік Орналастырылуы тиіс мұндай массасы: A — 6 бірлік, B — 2 бірлік ауырлық Орталығы материалдық нүкте (A, 6) және (B, 2), нүкте C, лежащая на стержне AB айқындалатын шарты: 6CA=2CB, немесе CB=3CA. Сондықтан АВ=CB+CA=4AC. Осыдан, (бірлік). Бірлестігі материалдық нүкте (A, 6) және (B,2)материалдық нүкте (8).
Ауырлық орталығы үш материалдық нүкте орналасқан былайша табады бірлестігі осы екі материалдық нүктелері, содан кейін іздеп ауырлық орталығы құрылған осылайша төртінші материялық нүкте және үштен бірі-деректер материалдық нүкте.
Жалпы, ауырлық орталығы n материалдық нүкте кезінде n>2 мысалы: алдымен табу ауырлық орталығы n-1 материалдық нүкте қоюға болады осы нүктесінде массасын барлық n-1 нүктесі), содан кейін табу ауырлық орталығы осы жаңадан пайда болған материалдық нүкте n — -ші материалдық нүктесі.
Егер орналастыру ауырлық орталығында бірнеше материалдық нүктелер массасының барлық осы нүктелер болса, онда образующуюся осылайша жаңа материалдық нүкте деп атайық бірлестігі деректерді материалдық нүкте.
Міндеттерді шешу үшін маңызды мынадай қарапайым қасиеттері ауырлық орталығы.

Ереже ауырлық орталығының n материалдық нүкте байланысты емес тәртіпті, онда дәйекті біріктіріледі бұл нүктелер. (Туралы Теорема единственности ауырлық орталығының жүйесі үшін n материалдық нүкте.)
Ереже ауырлық орталығының жүйе n материялық нүктелер өзгермейді, егер деген бірнеше материалдық нүктелер олардың бірлестігі. (Теорема мүмкіндігі туралы группировки басқа топтамаларға енгізілмеген материалдық нүкте.)
Қараған кезде кейбір мәселелерді механика көрсетіледі тиімді ұғымын енгізу статикалық сәттен.
Болсын бар кейбір нүкте C және, сонымен қатар, материалдық нүкте, A?(A, m). Статикалық сәті материалдық нүктесінің А нүктеге қатысты Отырып, біз деп атайық туындысы m?CA және біз оны қысқаша белгілеу мысалы: МомСА.
Пайдалана отырып ұғымымен статикалық сәттен анықтау ауырлық орталығының тұжырымдауға болады: С нүктесі деп аталады ауырлық центрі екі материалдық нүкте A?(A, m1)және B?(B, m2), егер жүктеледі жолының АВ және МомСА=МомСВ.
Берсін енді біршама луче басталуымен S (сур. 3) орналасқан жүйесі кейбір n материалдық нүкте
A1?(A1, m1), A2?(A2, m2), …, An?(An, mn).

SA4 A3 A2 A1 An

сур. 3

Статикалық сәті осы жүйенің басталуына қатысты сәуленің S деп атайды моменттер барлық нүктелер жүйесінің басталуына қатысты сәуленің,
яғни K=МомЅА1+ МомЅА2+ МомЅА3+…+ МомЅАп немесе жан-жақты,
K=m1?SA1+ m2?SA2+ m3?SA3+…+ mn?San.
Мысал. Егер жүйесі тұрады үш нүкте (A1, 1), (A2, 4), (A3, 9) және SA1=1, SA2=2, SA3=3 (сур. 4), онда статикалық сәті жүйесінің тең
K=1?1 + 4?2 + 9?3 = 36.
Бұл жүйеде SGC кезде болады біркелкі.қараңыз, Бірақ біз бұрын келістік өлшемі боламыз сайын білдіруге, бірақ еш жерде көрсетілмейді.

SA1 А2А3

сур. 4
Біздің өзіндік жұмыстарды орындады негізгі объектілері болды «материалдық нүкте». Тұрғысынан математика материалдық нүкте — бұл тұратын кешен, геометриялық нүктелер мен кейбір (оң) сандар.
Математика рет келеді тап осындай құбылыс кешені екі қандай да бір математикалық объектілер ретінде қарастырады біршама жаңа нысан, содан кейін ұшырайды арнайы зерттеу. Мысалы, курста алгебра ұғымы енгізіледі логарифмі ретінде кешенін (жұп) екі нақты сандар.
Қатаң курстарында геометрия осылайша алғаш, мысалы, ұғым бөлігі ретінде кешені (жұп) екі нүкте түсінігі; бұрышының мүмкін енгізілді кейіпте: бұрышы ретінде қарастыруға болады кешені екі сәулесінің жалпы басталуы.
Егер бізде қандай да бір материалдық нүкте.(A, m), біз (геометриялық) нүктесін A боламыз кейде атауға тасушы немесе аффиксом бұл материалдық нүктелер саны m боламыз әлі де атай салмағы осы материалдық нүкте.
Теңдікке түрі (A, a)?(B, b) біз мән береміз осындай мағынасы: екі материалдық нүктелері бірдей тасушы (A?B) тең массасын (a?b).
Шешім барлық дерлік бұрын қаралған міндеттерді опиралось, онда біз «объединяли кейбір материалдық нүктелерін олардың ауырлық орталығы»; дәлірек айтқанда, шартымен кейбір материалдық нүктелерін олардың бірлестігі. Бұл ретте бірлестік екі материалдық нүкте (A, а) және (B, b) біз түсінбейтін кейбір жаңа материалдық нүкте (a+b), мұндағы — ауырлық орталығы осы екі материалдық нүктелері. Еді деуге болады: бірлестік екі материалдық нүкте деп аталады жаңа материалдық нүкте, тасымалдаушысы болып табылады ауырлық орталығы деректер, материалдық нүктелер массасы сомасына тең масс осы материалдық нүкте.
Орнына «бірлестігінің» тұтынуға «деген сөздер»сомасы.
Егер материалдық нүкте.(С) бірлестігі болып табылады басқа екі материалдық нүкте A?(A, a), B?(B, b) болса, онда біз бұл жазуға да:
(A, a) + (B, b) = (C, c)
немесе, қысқа,
A + B = C.
Біз болдырмауы тиіс және сол жағдайда екі материалдық нүктелері бірдей тасушы. Бұл жағдайда, әрине, біз деп санауға тасушы біріктіру олардың жалпы тасушы. Осылайша, (А) + (А, b) = (A, a+b).
Бізде туындайды атқарылған жұмыстарды есептеу, өзіндік алгебра. Осы алгебра орын переместительный заңы: A + B = B + A. Бұл ең анықтау ауырлық орталығының екі материалдық нүктелері. Бар сондай-ақ, сочетательный заңы:
(A1 + A2) + A3 = A1 + (A2 + A3),
немесе, әйтпесе,
[(A1, m1) + (A2, m2)] + (A3, m3) = (A1, m1) + [(A2, m2) + (A3, m3)].
Толығырақ: Табамыз, біз алдымен бірлестігі A12 екі материалдық нүктелердің А1 және А2, содан кейін табамыз бірлестігі осы материалдық нүктенің А12с үшінші материалдық нүкте А3, немесе алдымен табамыз бірлестігі А23 материалдық нүкте А2 және А3, содан кейін табамыз бірлестігі материалдық нүктелерін А1, А23, екі жағдайда да келеміз бір нәтижеге, белгілі бір материалдық нүктесінде.
Бұл мағынасы, бұл бекіту тұрады, оның ауырлық орталығы үш материалдық нүкте байланысты емес тәртіпті, онда біріктіріледі бұл нүктелер.
Біздің өзіндік жұмыстарды орындады «материалдық нүкте» (A, m) дерек ретінде тұратын кешен, кейбір геометриялық нүктелер А және біраз оң санының т. Бұл сан амӛз біз әлі күнге дейін деп атаған массасы. Алайда, оның атауға болады және қандай да болмасын басқа сөзбен айтқанда, айталық, «салмағы». Біздің барлық алдыңғы талқылаулар қалады, әрине, күшінде, егер » деген сөз «салмағы» деген сөздің «салмағы». Біз мұндай жағдайда қазірдің өзінде айтуға емес, (мысалы, қарастырайық материалдық нүктеге (А, т) салмағы т амӛз», деп еді: «қарастырайық материалдық нүктеге (А, т) салмағы т амӛз».
Әлі күнге дейін біз көрнекі түрде таныстырды материалдық нүктеге (А, т) түріндегі материалдық түйіршік көлемі оның елемеуге болады, бар салмағын т. Бірақ сол сәтті біз көрнекі түрде ұсынуға сол материалдық нүкте түрінде осындай шарик салмағы т.

Келтірейік бір нақты физикалық көрінісін мүмкіндік береді көрнекі түрде оқырманға ұсынуға материалдық нүктелер туынды заттай «республикада ақпан».
Болсын бар болса, онда бассейн, сумен толтырылған. Болсын шарик ілініп тұрған ауада (дәлірек айтсақ, пустоте) р бірлік (айталық, р грамм), орналастырылуы болса, А нүктесі ішіндегі бассейн.
Қарастырайық алдымен жағдайда үлес салмағы (шарик) 1-ден көп (мысалы, шарик темір). Бұл шарик пойдет бұл жағдайда түбіне. Егер су астында салмақтап бұл шарик (айталық, көмегімен серіппелі таразы), онда таразы көрсетеді аз р бірлік. Қиын емес, егер қажеттілік, қанша болады жеңіл шарик су астында. Болсын үлес салмағы шарының тең d, көлемі V Онда V=p/d.Есептегенде үлес салмағы су бірдей 1, табамыз салмағы көлемде су, үйі шариком, тең (p/d)?1=p/d. Заң Архимед салмағы т шардың астында (оның «су астындағы салмағы») бойынша анықталады мұндай формула:
(*)
Бұл т — суасты салмағы (шарик) — бұл қорытқы күш, ол, алайда қосу екі күш әрекет ететін шарик: ауырлық күшінің және выталкивающей күштері су.
Обратим, бұл жағдайда (егер d>1) m>0 және бұл күш бағытталған төмен. Берсін енді үлес салмағы (шарик) 1-ден кем болса (мысалы, шарик сделан из пробки). Бұл жағдайда шарик болады выталкиваться судан («жоғары»). Қорытқы күш m, әсерінен онда шарик болады выталкиваться жоғары болады заңына сәйкес Архимед тең бұрынғыдай
,
бірақ қазір бұл сөзді теріс (себебі d<1) және, демек, күші жоғары бағытталған.
Болсын, әйтеуір, d=1, яғни үлес салмағы шарының тең үлес салмағы су. Мұндай шарик болады елестету жасалған ағаштан және бар металл сердцевину (әрі металл және ағаш тиіс, түсінікті болуы, алынған әбден айқындалған қатысты). Оны өзің жасау, сондай-ақ, арнайы пластмассадан жасалған. Оның салмағы суда әлі бойынша анықталады (*), ал d=1 болса, онда т=0, яғни мұндай шарик суда невесом. Кезде, кез келген жағдайда А нүктесінен суда ол қалады тыныштықта.
Осылайша, кез келген d (d>0) өрнек (*) шамасын сипаттайды результирующей күштер әрекет ететін шарик; ол бағытталған «төмен» кезінде т>0 (яғни, d>1) және «жоғары» т<0 (яғни, d<1). Кезінде т>0 біз бұл күші «деп атаған суасты салмағы (шарик)». Сол атауы сақтаймыз және т амӛз?0. Осылайша, суасты салмағы (шарик) көрінуі мүмкін ретінде оң және теріс санмен немесе нөлмен толтырылады.
Көшсек, енді наглядному беруіне «материалдық нүкте». Материалдық нүктеге (А, т) кез келген т (оң, теріс немесе нөлге тең), біз көрнекі түрде ұсынуға түрінде, түйіршік көлемі оның елемеуге болады, орналастырылған нүктесінде, Ал мен бар суасты салмағы т.
Демек, онда саны т, ол келіссе, біз атай «салмағы» материалдық нүкте, біз истолковываем, «суасты салмағы (шарик)». Кезінде т>0, біз материалдық нүктеге (А, т) көрнекі ұсынамыз түрінде шарик тонущего суда (мысалы, темір). Кезде т<0, тиісінше, қалқымалы жер бетіне суды (мысалы, пробкового), ал т=0 — пластмассадан жасалған — осындай үлес салмағы, және су. Суда ол невесомым. Бола отырып орналастырылуы қандай да бір нүктесінде, ол ауырлық күшінің әсерімен және выталкивающей күштері су қалады.

Егер әңгіме туралы екі материалдық нүктелері болса, онда біз аламыз, өзіне көрнекі түрде ұсынуға нанизанными жұқа тік сызықты стержне, дайындалған сол «жеңіл формулалы» (суда) пластмассалар, ол туралы біз жоғарыда айттық. Төменде біз туралы айтуға ауырлық орталығы екі материалдық нүктелері. Іс жүзінде бұл ауырлық орталығы болады көрнекі түрде ұсынуға қалай нүкте, керек подпереть немесе оны подвесить жеңіл (суда) стержень үшін, ол бірге нанизанными онда «материалдық нүкте» болып шықты » безразличном тепе-теңдік.
Әрқашан ма табылады мұндай нүкте-бұл стержне екі арасындағы «материалдық нүкте»? Мүмкін емес, ол болуы мүмкін тыс кескін, соединяющего деректер материалдық нүкте? Ма орын алуы, осындай нүктелері мүлдем жоқ? Бұл біз анықтау үстіндеміз төмен.
Дәл осылайша елестету ауырлық орталығы кез келген материалдық нүкте.
Кездесетін төмен ұғымы «бірлестігі бірнеше материалдық нүктелер болады көрнекі истолковать ретінде равнодействующую суасты таразы барлық шарлар, көрнекі түрде бейнелейді, бұл материалдық нүктелері.
Кейде пайдалы беруге кеңінен көрнекі түсіндіру ұғымдары материялық отырып, еркін заттық «салмағы».

ABCD

сур. 5

Жасаймыз бір алдын ала ескерту. Әрбір тікелей біз таңдап, оң бағыты мен бірлігіне ауқымдағы. Егер бұл жасалмаса, онда кейде тікелей деп атайды осі.
Әрбір кесінді (айталық, АВ) ретінде қарастыруға болады бағытталған, бұл ретте алдымен біз атаймыз начало бөлігінің (А), содан кейін — оның соңында (); кесіндінің бағыты — А. В. Егер кесінді жатыр осіне (немесе параллелен оған), онда оның бағыты болуы мүмкін:

дәл келуі бағыты осі;
мүмкін қарама-қарсы бағыт осі.
Бірінші жағдайда біз шама кесінді деп атаймыз, оның ұзындығын; екінші жағдайда шама кесіндінің біз атаймыз, оның ұзындығын, взятую минус белгісі (-).
Осылайша, шамасы, кесінді, жатқан қандай да бір осі, немесе параллель осі — оның ұзындығы, алынған плюс немесе минус белгісімен байланысты, қатар, болады кесіндінің бағыты мен ось бірдей немесе противоположны. Шамасын кесінді АВ боламыз белгілеу мысалы: АВ.
Біздің мысалда, (сур. 5) АВ=3, DC= -2, ВА= -3. Жалпы, АВ= -ВА.
Ораламыз енді мәселе мүмкіндігі туралы физикалық түсіндіру материалдық нүктелердің еркін заттай республикада ақпан.
Біз ұсынуға, бұл кеңістікте произвольным түрде таңдалған қандай да бір ось l. Материалдық нүктеге (А, т) болады көрнекі истолковать ретінде күші, параллельдік осіне lи қоса берілген нүктесіне А.
Саны т (масса) сипаттайды абсолюттік шамасын (немесе айтқандай, кейде, «кернеу») және бағыты осы күш: күш пен ось бірдей бағытталған, егер т>0, қарсы бағытталады, егер т<0; абсолюттік шама бойынша күш тең ?т? (бірліктер күштер). Егер т=0 болса, онда күш нөлге тең. Материалдық нүкте түрін (А, 0) деп атауға болады «незагруженной нүктесі» немесе «нөлдік күш».

Ал
С
»

сур. 6

Қашан боламыз төменде айтуға ауырлық орталығы «туралы бірнеше материалдық нүктелер» болса, онда оны өзіне көрнекі түрде ұсынуға орталығы ретінде параллель күштер, ал «бірлестігі бірнеше материалдық нүктелер» равнодействующую бірнеше параллель күштер қоса берілген орталығында параллель күштер.
Үшін геометриялық қосымшалары маңызды, бұл барлық дерлік негізгі деп біз айттық қатысты материалдық нүктенің оң республикада ақпан, мүмкін қорыту жағдайда материалдық нүктелердің еркін заттай республикада ақпан.
Түсінігі ауырлық орталығының екі материалдық нүктелердің (туынды заттай республикада ақпан) енгізуге болады.
Ауырлық центрі екі материалдық нүкте (A, а) және (B, b) (сур. 6) деп аталады нүктесі С, лежащая на осі АВ (оң бағыты Да А) қанағаттандыратын шарт: а?АС=b?СВ.

Ал
»
С

сур. 7

Ауырлық орталығы екі материалдық нүкте (A, а) және (B, b) жату арасындағы А және В, тек егер «масса» а және b бір белгісі. Егер а және bразных белгілерін, онда тыс кесінді АВ (сур. 7).
Тек бір жағдайда ауырлық орталығы материалдық нүкте (A, а) және (B, b) әр түрлі көздермен (А?В) жоқ, — дәл осы кезде массасы олардың противоположны таңба бойынша, бірақ тең абсолютті шамасы бойынша (яғни, егер а = -b? 0). Осыған байланысты біз қоңырау екі материалдық нүктенің түрін (А, А) және (В-а) (А?В, а?0) механикалық жұп.
Бұл жағдай болады елестету де шекті басқа жағдайды а?-b, бірақ а® -b. Егер а?-b, а?0, b?0 болса, онда жазуға болады , яғни . Егер а ® -b болса, онда a + b® 0 және, демек, СА ®?, яғни нүктесі шектеусіз шығарылады бойымен түзу АВ. Сондықтан кейде айтады, егер a = -b, онда ауырлық орталығы екі материалдық нүкте (A, а) және (B, b) жатыр шексіз қашықтан нүктесінде тікелей АВ».
Бола отырып, мұнда аясында элементарлық геометрия, біз осы фразаны ретінде қарастыруға бейнелі білдіру қатар, бұл ауырлық орталығының рұқсат беріледі.
Егер бір екі материалдық нүктелер болып табылады незагруженной, ал «массасы» екінші материялық отлична нөлден болса, олардың ауырлық орталығы сәйкес келеді тасушы жүктелген нүктелері. Осыған байланысты, мағынасы барлық незагруженные нүкте деп санауға тең болса, деп кезінде кез келген Аи ( А, 0) ?? (В-0).
Міндет екендігі туралы ауырлық орталығы екі тиелмеген нүкте анықталмаған болып табылады: бар шексіз көп нүктелер бар, олар ретінде қарастыруға болады орталықтарының ауыр заттарды осы екі нүкте. Біз тоқтап қарау осы жағдай.

Идея барицентрических координаттар.

Таңдаймыз жазықтықтағы еркін үшбұрыш АВС (сур. 8) кейіннен деп атайық координаттық немесе базистік треугольником Мебиуса. Болсын р?0 (Р, р) ? еркін материалдық нүкте, лежащая жазықтық осы үшбұрыштың. Сонда мүмкін таңдау үшін нүктелер А, В, С, мұндай массасы а, b, с (міндетті емес оң), бірлестігі үш материалдық нүкте (A, а), (b) және (С) служила нүктесі (Р, р). Бұл елестету мүмкін келесідей.
Анық, бұл мүмкін емес бір мезгілде РА?? ӘК, РВ?? СА, РС?? АВ. Болсын, айқындылық, РА және ӘК бір-біріне параллельді. Қосамыз Р А мен айта кетейік нүктесі А1, АР қарсы тікелей ӘК-де. Таңдаймыз үш жарамды ішінен а, b, c, сондықтан
b?BA1 = c?A1C,
a?AP = (b + c)?PA1,
a + b + c = p.
Бұл әрқашан мүмкін. Сонда
(P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c).
Керісінше, егер алайық үш произвольных нақты санының a, b, c, мұнда a + b + c? 0, онда бар әбден белгілі бір материалдық нүкте (Р, р), (Р, р) = (A, a) + (B, b) + (C, c).