Айнымалы жиындардың функциялары

Кіріспе

1. Көптеген қашықтық.

2. Ашық және тұйық жиындар»

3. Саласы

4. Кейбір қасиеттері сала

Пайдаланған әдебиеттер тізімі

Кіріспе
Көптеген шамасы, қызығушылық, байланысты емес бір, ал көптеген факторлар, және егер өзі шамасы және әрқайсысы анықтайтын оның факторларының болуы мүмкін сипатталған кейбір саны бар болса, онда көрсетілген тәуелділікті азайтатын, бұл упорядоченному қабылдау сандардың әрқайсысы сипаттайды жай-күйі тиісті фактор болып сәйкестігін мәні зерттелетін шамасы, ол ол алады бұл ретте, жай-күйі шамасын анықтайтын факторлар.

Мысалы, төртбұрыштың ауданы бар шығарма ұзындығын оның тараптардың; көлемі осы газдың мөлшері мына формула бойынша есептеледі:

,

мұндағы – тұрақты, – масса, – абсолют температура, – газдың қысымы. Осылайша, мәні тәуелді айнымалы упорядоченной үштік сандар немесе айтқандай, бар функциясы үш айнымалы .

Біз қоямыз өзіне мақсатында үйрену зерттеу айнымалы функциялар сияқты үйрендік зерттеу функциясы бір айнымалы.

Бұл функциялар бір айнымалы функцияларына талдау көптеген сандық айнымалы басталады сипаттау, оларды анықтау.

1. Көптеген қашықтық.
Условимся арқылы белгілеу көптеген барлық реттелген жиынтығы , тұратын нақты сандар .

Әрбір осындай жиынтығы боламыз белгілеу бір әрпі сәйкес ыңғайлы геометриялық терминологияны атауға нүктесі жиындар .

Саны жиынтығы деп аталады -ші координатой нүктелері .

Геометриялық ұқсас болады жалғастыру және енгізу көптеген нүктелері арасындағы қашықтық формула бойынша

(1)

Функциясы

,

анықталатын формуламен (1), әлбетте, келесі қасиеттерге ие:

;

;

;

Соңғы теңсіздік (деп аталатын топтастыру бойынша геометриялық ұқсас теңсіздігіне үшбұрыш) бар жеке жағдайы теңсіздік Минковского.

Функцияны белгілі бір жұппен нүктелерін біраз көптеген және обладающую қасиеттері a), b), c), d), деп атайды метрикой немесе қашықтықпен .

Көптеген бірге тіркелген онда метрикой деп атайды метрическим кеңістігі.

Осылайша, біз жанына серік еткен метрическое кеңістік функцияларды бере отырып, метрикой, белгіленген ара қатынасы (1).

Арақатынасына (1) керек,

(2)

яғни нүктелері арасындағы қашықтық аз ғана жағдайда аз ерекшеленеді тиісті координаттары осы нүктелер.

Из (2), бірі (1), көрінеді, бұл кезде көптеген тұспа-тұс келеді көптеген нақты сандар, нүктелер арасындағы қашықтықты өлшенеді оның стандартты түрде модуль арқылы сандардың айырмасының.

2. Ашық және тұйық жиындар»
Анықтау 1. Кезінде көптеген

деп аталады шармен орталығы радиусы немесе сондай-ақ, — окрестностью нүктелері .

Анықтау 2. Көптеген ашық деп аталады , егер кез келген нүктесінен шар табылады осындай, бұл .

1-мысал. – «көптеген».

2-мысал. – бос емес көптеген – мүлдем нүктелерін қамтиды және бұл мүмкін болып саналады қанағаттандыратын анықтау 2, т. е. – «көптеген».

3-мысал. Шар – «көптеген».

Шынында да, егер , яғни болса , онда болады , өйткені

.

4-мысал. Көптеген , т. е. жиынтығы нүктелері қашық тіркелген нүктесінің ара қашықтығы көп ашық болып табылады, бұл мысалда 3, оңай тексеруге пайдалана отырып, теңсіздік үшбұрыш үшін метрикасы.

Анықтау 3. Көптеген тұйық деп аталады , егер оның қосымша болып табылады көптеген ашылған .

5-мысал. Көптеген , т. е. жиынтығы нүктелері қашық тіркелген нүктелері көбірек емес , тұйық болып табылады, бірақ анықтау 3 мысал 4. Көптеген деп атайды тұйық шармен орталығы радиусы .

3. Саласы
Сала – көптеген нүктелері евклидова кеңістігін , тұрған атынан белгілі бір нүктесіне (орталығы) тұрақты қашықтықта (радиус), т. е.

.

Сала – нүктелерін бу, сфера – бұл шеңбер, салаға кезде кейде деп атайды гиперсферой. Саласының көлемі (ұзындығы , беті кезінде ) мынадай формула бойынша

,

атап айтқанда,

, , , .

Теңдеуі сала декартовых тік бұрышты координаталарда да түрі бар

(мұнда , , , – координаттары , тиісінше), т. е. Саласы – (гипер)квадрика, немесе жер бетіне екінші ретті арнайы түрі.

Ереже қандай да бір нүктесінің кеңістіктегі қатысты сала дәрежесімен сипатталады нүктелері. Жиынтығы барлық салаларына қатысты оның осы нүкте бірдей дәрежесі, желісі құрайды. Жиынтығы барлық салаларын салыстырмалы нүктелер бір тік (радикалды осі) бірдей дәрежесі (әр түрлі әр түрлі нүктелері), байламы құрайды.

4. Кейбір қасиеттері сала
Тұрғысынан дифференциалдық геометрия саласы – риманово кеңістік бар тұрақты (гауссову кезінде және риманову кезінде ) кривизну . Барлық геодезиялық сызық сала бекітулі және тұрақты ұзындығы – бұл деп аталатын үлкен шеңбер, яғни қиылысына двумерных жазықтықтың қазақстан арқылы өтетін оның орталығы. Внешнегеометрические қасиеттері : барлық норманың түйісетін бір нүктеде, кез келген қисықтық қалыпты қиманың бір және байланысты емес нүктеден, ол қаралады, атап айтқанда, тұрақты орта кривизну, оның үстіне толық орта қисықтық сала – ең арасында дөңес бетін бірдей алаңда барлық нүктелері сала омбилические.

Кейбір осындай қасиеттерін қабылданған негізгі көмектескенін үшін нүктесі қорыту ұғымдар. Мысалы, аффиндік аясы анықталады, яғни оның барлық (аффинные) норманың түйісетін бір нүктеде; псевдосфера – беті тұрақты гауссовой қисықтық (бірақ теріс); бірі интерпретация орисферы (шекті) – көптеген нүктелері ішіндегі айқындайтын , уравнением сондай-ақ, екінші ретті

.

Саласына екі рет транзитивно қолданылады ортогональ тобы кеңістік (2 – транзитивность білдіреді, ол үшін кез келген екі жұп нүктелер тең расстояниями бар айналуы – элемент , переводящая бір жұп басқа); ақырында, саласы бар біртекті кеңістік: .

Тұрғысынан (дифференциалды) топологияны, сала – замкнутое дифференцируемое алуан түрлілігі, разделяющее екі облысында болып табылатын және олардың жалпы шекарасы; бұл ретте шектелген облысы, гомеоморфная – бұл (ашық) шар, бұл салаға анықтауға болады, оның шекарасы.

Топ гомологий сала :

атап айтқанда, емес стягивается нүктесі өзімен-өзі, т. е. тождественное көрсету өзіне айтарлықтай.

Топ гомотетий сала :

Мысалы, кезінде . Жалпы жағдайда – кез келген және , , топ вычислены.

Және мұнда түсінігі сала алады қорыту. Мысалы, жабайы саласы – топологическая сала емес , бір мерзімде облысы, гомеоморфной ; Милнора саласы (экзотикалық саласы) – көп түрлілігі, гомеоморфное, бірақ диффеоморфное .

Топологиялық кеңістік, гомеоморфное саласындағы деп аталады топологической саласы. Бірі осында болып табылады сұрақ, сонымен қатар, біраз кеңістік болып табылады топологической саласы.

Мысалдар.

а) Инварианттық топологическая сипаттамасы саланы белгісіз. Туралы, егер қараңыз Одномерное алуан түрлілігі. Үшін дәстүрлі болды гомеоморфен , қажет және жеткілікті, ол үшін жергілікті байланысты, мазмұнында ең болмағанда бір қарапайым тұйықталған желі үшін кез келген лежащая онда мұндай желі разбивала оның екі облысы бар, бұл желіге өзінің жалпы шекарасы (теорема Wilder).

б) Толық односвязное риманово кеңістік өлшемдік сызықтың қисықтығы үшін барлық жанама аспаптармен екі өлшемдік жазықтықтың – шектелген , яғни гомеоморфно (туралы теорема).

в) Односвязное замкнутое тегіс алуан түрлілігі, (бүтін) гомологии оның сайма-гомологиями (кезінде – белгісіз). Егер болса , онда ол сондай-ақ гомеоморфно , гипотеза болып қалады, кезінде диффеоморфизм жоқ.

Мүлдем ұқсас анықталады саласы метрическом кеңістікте . Алайда, бұл көптеген, жалпы айтқанда, мүмкін орналасу қиын (мүмкін бос).

«Нормированном кеңістікте нормасымен саласы деп аталады көптеген : бұл, мәні бойынша, еркін, жалпы айтқанда, бесконечномерная дөңес (гипер)беті, емес, әрқашан бар, мысалы, гладкостью, округлостью және т. б. пайдалы қасиеттері бар қарапайым. Нұсқалардың бірі қолданылатын топология – тек аталатын бесконечномерная саласы – қатаң индуктивті шегі ретпен салынған салалары:

басқа анықтау: , мұндағы – бесконечномерное алуан Штифеля. Кез-келген екен .

Қосымшаның ұғымының аясы өте әр түрлі болып табылады. Мысалы сала қатысады конструкцияларда жаңа кеңістіктер немесе қосымша құрылымдар. Мысалы, проективті кеңістік түсіндіруге болады ретінде саласына байланысты отождествленными диаметрлі противоположными нүктелері; сала сапты және дырами пайдаланылады теориясы қалам.

Пайдаланған әдебиеттер тізімі
Буземан Ж., Геометрия геодезиялық. – М., 1962.