Функция және оның қасиеттері

Функция — тәуелді айнымалы у айнымалы x, егер әрбір мәніне х сәйкес келеді жалғыз мәні.

Айнымалы х — тәуелсіз айнымалы немесе аргумент.

Айнымалы, у — тәуелді айнымалы

Мәні функцияның мәні бар, тиісті берілген мәніне х.

Область определения функции — барлық мәндер қабылдайтын тәуелсіз айнымалы.

Мәндер облысы функцияларды (көптеген мәндер)- барлық мәндер қабылдайтын функция.

Функциясы жұп болып табылады — егер кез келген х үшін келген анықтау саласындағы функциялары орындалады теңдік f(x)=f(-x)

Функциясы тақ болып табылады, егер кез келген х үшін келген анықтау саласындағы функциялары орындалады теңдік f(-x)=-f(x)

Артушы функция — егер кез келген х1 және х2, осындай, бұл х1< х2, теңсіздік орындалады: f(х1)<f(х2)

Убывающая функциясы — егер кез келген х1 және х2, осындай, бұл х1< х2, теңсіздік орындалады: f(х1)>f(х2)

Функцияның кестемен немесе графикпен берілуі

Үшін функциясын, тәсілін көрсету қажет, оның көмегімен әрбір мәні үшін сапасын қайта қарастыруды сұрайды табуға тиісті мәні функциялары. Ең употребительным болып табылады тәсілі тапсырма функциялары арқылы формула у=f(x), мұндағы f(x)-біраз өрнек айнымалы х. мұндай жағдайда, бұл функция бойда формула немесе функция бойда аналитикалық.

Практикада жиі пайдаланылады кестелік тәсілі тапсырма функциялары. Бұл ретте тәсілі келтіріледі кесте көрсететін маңызы бар функциялар үшін қолда бар кестеде көрсетілген мәндерден сапасын қайта қарастыруды сұрайды. Мысалдар кестелік тапсырмалар функциялары болып табылады-кесте квадраттар, кесте куб.

Функцияларының түрлері және олардың қасиеттері

Тұрақты функция — функция, берілген формуласы у=b, мұндағы b-саны біраз. Кестеге сәйкес тұрақты функциялар у=b болып табылады түзу, параллель абсцисс осі және в нүктесі арқылы (0;b) ось ордината

Тікелей пропорциональді — функциясы, берілген формуласы у=kx, мұндағы к10. Саны k деп аталады коэффициенті пропорционалдық.

Қасиеттері функция y=kx:

Область определения функции — көптеген барлық нақты сандар

y=kx — тақ функция

Кезде k>0 функция өседі, ал k<0 убывает барлық сандық түзу

3)Сызықтық функция — функция, ол бойда формуласы y=kx+b, мұндағы k және b-нақты сандар. Егер атап айтқанда, k=0, онда аламыз тұрақты функцияны y=b болады; егер b=0 болса, онда аламыз тікелей пропорциональді y=kx.

Қасиеттері функция y=kx+b:

Область анықтау — көптеген-барлық нақты сандар

Функция y=kx+b жалпы түрі, т. е. бірде-четна, бірде нечетна.

Кезде k>0 функция өседі, ал k<0 убывает барлық сандық түзу

Кестеге функциялары болып табылады тікелей.

4)Кері пропорциональді — функциясы, берілген формуласы y=k/x, k10 Саны k деп аталады коэффициентіне кері үйлесімді.

Қасиеттері функция y=k/x:

Область анықтау — көптеген-барлық нақты сандар нөлден басқа

y=k/x — тақ функция

Егер k>0 болса, онда функция убывает арналған аралықта (0;+¥) аралықта (-¥;0). Егер k<0 болса, онда функция өседі аралықта (-¥;0) аралықта (0;+¥).

Кестеге функциялары болып табылады гипербола.

5)Функция y=x2

Қасиеттері; функция y=x2:

Анықтама облысы — барлық сандық түзу y=x2 — жұп функция

На аралықта [0;+¥) функциясы өседі

«Аралықта (-¥;0] функциясы убывает

Кестеге функциялары болып табылады парабола.

6)Функциясы y=x3

Қасиеттері функциялар y=x3:

Анықтама облысы — барлық сандық түзу

y=x3 -тақ функция

Функция өседі барлық сандық түзу

Кестеге функциялары болып табылады үшінші дәрежелік парабола

7)алғашкы функция табиғи көрсеткіші — функция, берілген формуласы y=xn, мұндағы n — табиғи саны. Кезде n=1 функциясын аламыз: y=x, оның қасиеттері қаралды п. 2. Кезде n=2;3 аламыз функция y=x2; y=x3. Олардың қасиеттері қарастырылды жоғары.

Болсын n — еркін четное число, көп екі: 4,6,8… бұл жағдайда функция y=xn ие, сол қасиеті бар, бұл функция y=x2. Функциясының графигі ескертеді параболу y=x2, тек бұтақтары кестесін кезінде |х|>1 соғұрлым мықтырақ барады жоғарыға қарағанда n, ал |х|<1 болғанда — «теснее прижимаются» Х осі қарағанда n.

Болсын n — еркін тақ санды, көп үш: 5,7,9… бұл жағдайда функция y=xn ие, сол қасиеті бар, бұл функция y=x3. Функциясының графигі ескертеді кубическую параболу.

8)алғашкы функция с-бүтін теріс көрсеткіші — функция, берілген формуласы y=x-n, мұндағы n — табиғи саны. Кезде n=1 аламыз y=1/х, қасиеттері осы функцияларды қаралды п. 4.

Болсын n — тақ санды, көп бірліктер: 3,5,7… бұл жағдайда функция y=x-n ие негізінен сол қасиеттері бар, бұл функция y=1/х.

Болсын n — четное саны, мысалы, n=2.

Қасиеттері функциялар y=x-2:

Функциясы анықталған барлық x10

y=x-2 — жұп функция

Функция убывает (0;+¥), өседі (-¥;0).

Сол қасиеттерге ие кез келген функциясын кезінде четном n, үлкен екі.

9)Функция y=Ӧх

Қасиеттері функциялар y=Ӧх:

Облысы айқындау — луч [0;+¥).

Функция y=Ӧх — жалпы түрі

Функция өседі луче [0;+¥).

10)Функциясы y=3Ӧх

Қасиеттері функциялар y=3Ӧх:

Анықтама облысы — барлық сандық түзу

Функция y=3Ӧх нечетна.

Функция өседі барлық сандық түзу.

11)Функция y=пӦх

Кезінде четном n функциясы ие, сол қасиеті бар, бұл функция y=Ӧх. Кезінде тақ n функция y=пӦх ие, сол қасиеті бар, бұл функция y=3Ӧх.

12)алғашкы функция оң кезекпен көрсеткіші — функция, берілген формуласы y=xr, мұндағы r — оң несократимая бөлшек.

Қасиеттері функциялар y=xr:

Облысы айқындау — луч [0;+¥).

Функция жалпы түрі

Функция өседі [0;+¥).

Суретте бейнеленген функциясының графигі y=x5/2. Ол арасында жасалған кестеге функциялар y=x2 және y=x3, берілген арналған аралықта [0;+¥).Мұндай түріне ие кез келген функциясының графигі түрін y=xr, мұндағы r>1.

Суретте бейнеленген функциясының графигі y=x2/3. Осындай түрі бар кестесі кез келген степенной функция y=xr , мұнда 0<r<1

13)алғашкы функция теріс кезекпен көрсеткіші-функция, берілген формуласы y=x-r, мұндағы r — оң несократимая бөлшек.

Қасиеттері функциялар y=x-r:

Обл. анықтау -аралығы (0;+¥)

Функция жалпы түрі

Функция убывает (0;+¥)

14)Кері функциясы

Егер функция y=f(x) мынадай, кез-келген адам үшін оның маңызы бар yo теңдеуі f(x)=yo қарағанда х жалғыз түбірі болса, онда бұл функция f обратима.

Егер функция y=f(x) анықталған және артады (убывает) аралықта Х және облысымен оның мәндері болып табылады аралығы Y болса, онда оған бар кері функция, оның кері функциясы анықталған және артады(убывает) Y.

Осылайша, салу үшін функциясының графигі, кері функция y=f(x), керек функциясының графигі y=f(x) қаралса, қайта құру, симметрия қатысты түзу y=x.

15)Күрделі функция — функция, дәлел болып табылады, және басқа да кез-келген функция.

Алайық, мысалы, функциясын y=x+4. Подставим » аргумент функциясы y=x+2. Сонда: y(x+2)=x+2+4=x+6. Бұл болып табылады күрделі функциясы.