Математикалық маятник туралы мәлімет

Мазмұны реферат

Кіріспе

1. Қозғалыс теңдеуі математикалық маятник

2. Тербеліс периоды

Қорытындылар

Әдебиет

Кіріспе
Қазір тексеру мүмкін емес аңызға туралы Галилей, Тұрып дұға соборында, мұқият бақылап отырды качением қола люстр. Бақылап және анықтаған уақыт люстрой қозғалысына барып-қайту. Бұл уақытта сосын атады кезеңімен тербелістер. Сағат Галилейдің, және салыстыру үшін, тербеліс периоды люстр, подвешенных арналған тізбегінің ұзындығын, ол пайдаланған жиілігін берілістегі соғудың өз пульс

Маятниктер үшін пайдаланады реттеу барысы-ге, себебі кез келген маятник өте белгілі бір кезеңдегі ауытқуы. Маятник табады, сондай-ақ маңызды қолдану геологиялық барлау. Бұл түрлі орындарда жер шарының маңызы бар қаланың g әрқилы. Олар әр түрлі, өйткені Жер — әбден дұрыс шар. Сонымен қатар, сол жерлерде жатады тығыз жыныстар, мысалы, кейбір металл кендері, мәні g өте жоғары. Дәл өлшеу g көмегімен математикалық маятниктің кейде мүмкіндік береді табу мұндай кен орындары

1. Қозғалыс теңдеуі математикалық маятник
Математикалық маятником деп аталады ауыр материалдық нүкте, ол жылжиды немесе тік шеңбер (жазық математикалық маятник), немесе (сфералық маятник). Бірінші жақындауда математикалық маятником деп санауға болады груз шағын мөлшерін, гуэрраның » нерастяжимой иілгіш жіптер

Қарастырайық қозғалыс жазық математикалық маятниктің бойынша шеңбер радиусы l орталығы нүктесінде (сур. 1). Біз анықтау ережесі нүктелері М (маятник) ауытқу бұрышы j радиусы ОМ тігінен. Жібере отырып касательную M t жағына оң санау бұрышының j , құрамыз табиғи қозғалыс теңдеуі. Бұл теңдеу құралады қозғалыс теңдеуі

mW = F + N ,

мұндағы F — әрекет ететін нүктесі белсенді күш, N — реакция байланыс

Теңдеу (1) біз екінші заңы Ньютон, ол негізгі заңы болып табылады динамикасын және делінеді бойынша туынды уақыт санынан материялық нүкте қозғалысының тең қолданыстағы оған күші, т. е

Есептегенде массасы тұрақты, ұсынуға болады алдыңғы теңдеуі түрінде мұндағы W бар жеделдету нүкте

Сондықтан теңдеу (1) проекция білікке t бізге бір табиғи теңдеулер нүкте қозғалысы берілген тақырып бойынша қозғалмайтын тегіс қисық:

Біздің жағдайда аламыз » проекцияда білікке t мұндағы m бар массасы маятник

Өйткені немесе , осыдан табамыз

Қысқарта отырып, m және актілерінде боламыз түпкілікті болуы тиіс:

Қарастырайық алдымен жағдай шағын тербелістер. Болсын бастапқы моменті маятник қабылданбады тігінен бұрышқа j және түсірілуі бастапқы жылдамдығы. Онда бастапқы шарттар:

Бірі-энергия интеграл:

Мысалы, бұрыш j 0 мал ( j 0 Ј 1); содан кейін бұрышы j бастап, сондай-ақ мал және шамамен қоюға sin j » j . Бұл жағдайда теңдеу (4) түр қабылдайды

Теңдеу (7) дифференциалдық теңдеуі қарапайым гармониялық тербелістер. Жалпы шешімі осы теңдеудің түрі бар

Осыдан бірден табамыз ( T ) шағын тербелістер математикалық маятник (кезеңі — уақыт аралығы, осы нүкте оралып, бұрынғы ереже сол жылдамдықпен)

Үшін орналасқан заңының қозғалыс кезінде бастауыш жағдайында (5) вычисляем:

Подставляя (5) теңдеулер (8) және (10), аламыз:

j 0 = A , 0 = w B ,

яғни B =0. Демек, заң қозғалыс үшін шағын ауытқу жағдайында (5) болады:

j = j 0 cos w t .

Табамыз енді нақты шешім міндеттері туралы плоском математика маятнике. Анықтаймыз, алдымен бірінші интеграл қозғалыс теңдеуін (4). Өйткені

Осыдан, умножая екі бөлігін теңдеуі d j және интегрируя, аламыз:

Белгілейміз мындасыз арқылы j 0 бұрыш барынша ауытқуы маятник; сонда j = j 0 ие боламыз , қайдан C = w 2 cos j 0 . Нәтижесінде интеграл (12) береді:

Бұл интеграл білдіреді энергия интегралы және мүмкін тікелей алынды бірі теңдеулер

— Дан теңдеу (13) көрінеді, ол қозғалыс кезінде маятниктің бұрышы j өзгереді мәндері арасындағы + j 0 — j 0 (|- j | Ј j 0 , өйткені ), т. е. маятник жасауға болады колебательное движение. Условимся медиуциналық уақыты t сәттен өту маятник арқылы вертикаль ШАҢЫРАҚ кезде оның қозғалысы бар (суретті қараңыз.). Сол кезде ие боламыз бастауыш шарт:

Сонымен қатар, қозғалыс кезінде нүктесінен A болады ; одан келген екі бөлігінің теңдігі (13) квадрат түбірі, аламыз:

Бөлісе отырып, мұнда айнымалылар, ие боламыз:

Өйткені

Подставляя бұл нәтиже теңдеу (16), аламыз:

Үшін проинтегрировать теңдеу (17), табу керек квадратуру сол жақ бөлігінде. Бұл үшін көшсек, от j жаңа ауыспалы a актілерінде:

Подставляя барлық осы шамалар теңдеу (17) және заменяя w оның мәні (3), аламыз:

Қабылданған бастапқы шарттары (15) t =0 бұрышы j =0, демек, көрініп тұрғандай (18), a =0. Сонда, беря екі бөлімнен теңдеулер (19) белгілі бір интегралдар оң жағында 0-ден t , ал сол жағынан 0-ден a , аламыз заңы маятнигінің түрінде

Интеграл тұрған сол жақ бөлігінің тепе-теңдік (20), білдіреді эллиптический бірінші текті интеграл. Шамасы k деп аталады модулімен эллиптикалық интеграл. Бұл интеграл бар функция шегін және модуль, т. е

Егер теңдігі (21) қарауға жоғарғы шегі a ретінде функциясын жылғы интеграл u , онда мұндай функция деп аталады амплитудасы u және белгіленеді:

Беря екі бөлімнен теңдік (22) синус, біз аламыз:

Функция sn u (синус-амплитудасы u ) білдіреді аталатын өлшемді эллиптическую функциясын Якоби. Өйткені, сәйкес теңдеуі (20), болса , онда, көше отырып тепе-тең (23) a — j көмегімен формуланы (18), табамыз заң маятнигінің, айқын эллиптическую функциясын sn түрінде

2. Тербеліс периоды
Табамыз T кезеңіндегі маятниктің тербелісі. Ереженің j = 0 ереже j = j 0 маятник келеді тоқсан кезең. Осы теңдікке (18), j = 0 және a = 0, ал j = j 0 шама болса , онда теңдеу (20) иеміз:

Осылайша, анықтау кезеңі маятниктің тербелістерінің азайтатын есептеу шамасын білдіретін тоқсан кезеңнің эллиптикалық интеграл (21)

Белгілі формуласы Валлиса)

Разлагая бұл көріністе (26) подынтегральную функцияны қатар, аламыз:

Содан кейін, пайдалана отырып, формула (27), ие боламыз:

Подставляя бұл мән K теңдігі (25) ескере отырып, аламыз кезең үшін тербеліс жазық математикалық маятниктің білдіру

Демек, көп j 0 (бұрышы размаха), көп кезеңде маятниктің тербелісі. Осылайша, математикалық маятник қасиеті изохронности ие емес. Егер шағын мөлшерде шектелуі формула (29) тек екі бірінші мүшелері, онда актілерінде аламыз , жақын білдіру кезеңі

Қорытындылар
Алынған теңдеу қарапайым гармониялық тербелістер заңы, қозғалыс үшін шағын ауытқу, заң маятнигінің арқылы эллиптическую функциясын

Алынған білдіру үшін кезең маятниктің тербелістерінің

Әдебиет
Бухгольц Н.Н. Негізгі теориялық механика. М.: Наука. 1969
Бурабай А., Херувимов А. Тербелістер мен маятниктер. Ж. Квант. № 8, 1981

Қазір тексеру мүмкін емес аңызға туралы Галилей, тұрып дұға соборында, мұқият бақылап отырды качанием қола люстр. Бақылап және анықтаған уақыт люстрой қозғалысына барып-қайту. Бұл уақытта сосын атады кезеңімен тербелістер. Сағат Галилейдің, және салыстыру үшін, тербеліс периоды люстр, подвешенных арналған тізбегінің ұзындығын, ол пайдаланған жиілігін берілістегі соғудың өз пульс.

Маятниктер үшін пайдаланады реттеу барысы-ге, себебі кез келген маятник өте белгілі бір кезеңдегі ауытқуы. Маятник табады, сондай-ақ маңызды қолдану геологиялық барлау. Бұл түрлі орындарда жер шарының маңызы бар қаланың g әрқилы. Олар әр түрлі, өйткені Жер — әбден дұрыс шар. Сонымен қатар, сол жерлерде жатады тығыз жыныстар, мысалы, кейбір металл кендері, мәні g өте жоғары. Дәл өлшеу g көмегімен математикалық маятниктің кейде мүмкіндік береді табу мұндай кен орындары.

Қозғалыс теңдеуі математикалық маятник
Математикалық маятником деп аталады ауыр материалдық нүкте, ол жылжиды немесе тік шеңбер (жазық математикалық маятник), немесе (сфералық маятник). Бірінші жақындауда математикалық маятником деп санауға болады груз шағын мөлшерін, гуэрраның » нерастяжимой иілгіш жіптер.

Қарастырайық қозғалыс жазық математикалық маятниктің бойынша шеңбер радиусы l орталығы нүктесінде (сур. 1). Біз анықтау ережесі нүктелері М (маятник) ауытқу бұрышы j радиусы ОМ тігінен. Жібере отырып касательную M t жағына оң санау бұрышының j , құрамыз табиғи қозғалыс теңдеуі. Бұл теңдеу құралады қозғалыс теңдеуін mW = F + N (1) мұнда F — әрекет ететін нүктесі белсенді күш, N — реакция байланысты.

Сур.1

Теңдеу (1) біз екінші заңы Ньютон, ол негізгі заңы болып табылады динамикасын және делінеді бойынша туынды уақыт санынан материялық нүкте қозғалысының тең қолданыстағы оған күші, т. е.

(2).

Есептегенде массасы тұрақты, ұсынуға болады алдыңғы теңдеуі түрінде

немесе ,

мұнда W бар жеделдету нүктелері.

Сонымен, теңдеу (1) проекция білікке t бізге бір табиғи теңдеулер нүкте қозғалысы берілген тақырып бойынша қозғалмайтын тегіс қисық:

немесе .

Біздің жағдайда аламыз » проекцияда білікке t

мұндағы m бар маятниктің массасы.

Өйткені немесе , осыдан табамыз

.
Қысқарта отырып, m және актілерінде боламыз түпкілікті болуы тиіс:

,

,

,

(4).

Қарастырайық алдымен жағдай шағын тербелістер. Болсын бастапқы моменті маятник қабылданбады тігінен бұрышқа j және түсірілуі бастапқы жылдамдығы. Онда бастапқы шарттар:

t = 0, (5).

Бірі-энергия интеграл:

(6),
мұндағы V — потенциалды энергиясы, ал h — тұрақты интегралдау керек осы жағдайларда кез-келген уақытта бұрышы j j0. Мәні тұрақты h бойынша анықталады бастапқы деректер. Мысалы, бұрыш j0 мал (j01); содан кейін бұрышы j бастап, сондай-ақ мал және шамамен қоюға sinj » j. Бұл жағдайда теңдеу (4) түр қабылдайды

(7).
Теңдеу (7) дифференциалдық теңдеуі қарапайым гармониялық тербелістер. Жалпы шешімі осы теңдеудің түрі бар

(8),
мұндағы A және B немесе a және e мәні тұрақты интегралдау.

Осыдан бірден табамыз (T) шағын тербелістер математикалық маятник (кезеңі — уақыт аралығы, оның ішінде нүкте оралып, бұрынғы ереже сол жылдамдықпен)

және

,
т. к. sin бар кезең 2-ге тең p , онда w T = 2 p

(9).

Үшін орналасқан заңының қозғалыс кезінде бастауыш жағдайында (5) вычисляем:

(10).
Подставляя (5) теңдеулер (8) және (10), аламыз:

j0 = A , 0 = w B, B =0. Демек, заң қозғалыс үшін шағын ауытқу жағдайында (5) болады:

j = j0 cosw t (11).

Табамыз енді нақты шешім міндеттері туралы плоском математика маятнике. Анықтаймыз, алдымен бірінші интеграл қозғалыс теңдеуін (4). Өйткені

,
онда (4) түрінде көруге болады

.
Осыдан, умножая екі бөлігін теңдеуі d j және интегрируя, аламыз:

(12).
Белгілейміз мындасыз арқылы j0 бұрышы максималды ауытқуы маятник; сонда j = j0 ие боламыз , қайдан C = w 2cosj0. Нәтижесінде интеграл (12) береді:

(13),
мұнда w анықталады равенством (3).

Бұл интеграл білдіреді энергия интегралы және мүмкін тікелей алынды бірі теңдеулер

(14),
мұндағы — жұмыс орнын ауыстыру M0 M белсенді күш F , яғни, біздің жағдайда, v0 = 0, және .

— Дан теңдеу (13) көрінеді, ол қозғалыс кезінде маятниктің бұрышы j өзгереді мәндері арасындағы + j0) және j0 (|- j | j0, өйткені ), т. е. маятник жасауға болады колебательное движение. Условимся медиуциналық уақыты t сәттен өту маятник арқылы вертикаль ШАҢЫРАҚ кезде оның қозғалысы бар (суретті қараңыз.). Сол кезде ие боламыз бастауыш шарт:

t = 0, j = 0(15).

Сонымен қатар, қозғалыс кезінде нүктесінен A болады ; одан келген екі бөлігінің теңдігі (13) квадрат түбірі, аламыз:

.
Бөлісе отырып, мұнда айнымалылар, ие боламыз:

(16).

Өйткені

,

,
онда

.
Подставляя бұл нәтиже теңдеу (16), аламыз:

(17).

Үшін проинтегрировать теңдеу (17), табу керек квадратуру сол жақ бөлігінде. Бұл үшін көшсек, от j жаңа айнымалы a , актілерінде:

, онда (18).

Сонда

,
қайдан

.
Сонымен қатар,

.
Подставляя барлық осы шамалар теңдеу (17) және заменяя w оның мәні (3), аламыз:

(19).

Қабылданған бастапқы шарттары (15) t = 0 бұрышы j = 0, демек, көрініп тұрғандай (18), a = 0. Сонда, беря екі бөлімнен теңдеулер (19) белгілі бір интегралдар оң жағында 0-ден t , ал сол жағынан 0-ден a , аламыз заңы маятнигінің түрінде

(20).

Интеграл тұрған сол жақ бөлігінің тепе-теңдік (20), білдіреді эллиптический бірінші текті интеграл. Шамасы k деп аталады модулімен эллиптикалық интеграл. Бұл интеграл бар функция шегін және модуль, т. е

(21).
Егер теңдігі (21) қарауға жоғарғы шегі a ретінде функциясын жылғы интеграл u , онда мұндай функция деп аталады амплитудасы u және белгіленеді:

немесе

(22).

Беря екі бөлімнен теңдік (22) синус, біз аламыз:

(23).

Функция sinu (синус-амплитудасы u) білдіреді аталатын өлшемді эллиптическую функциясын Якоби. Өйткені, сәйкес теңдеуі (20),

, онда өту тең түсті (23) a — j көмегімен формуланы (18), табамыз заң маятнигінің, айқын эллиптической функциясы sin түрінде

(24).

Тербеліс периоды

Табамыз T кезеңіндегі маятниктің тербелісі. Ереженің j = 0 ереже j = j0 маятник келеді тоқсан кезең. Осы теңдікке (18), j = 0 және a = 0, ал j = j0 шама , онда теңдеу (20) иеміз:

(25).

Осылайша, анықтау кезеңі маятниктің тербелістерінің азайтатын шамасын есептеу

(26),
көзқарасты білдіреді тоқсан кезеңнің эллиптикалық интеграл (21).

Белгілі формуласы Валлиса)

(27).
Разлагая бұл көріністе (26) подынтегральную функцияны қатар, аламыз:

.
Содан кейін, пайдалана отырып, формула (27), ие боламыз:

(28).
Подставляя бұл мән K теңдігі (25) ескере отырып,

,
аламыз кезең үшін тербеліс жазық математикалық маятниктің білдіру

(29).

Демек, көп j0 (бұрышы размаха), көп кезеңде маятниктің тербелісі. Осылайша, математикалық маятник қасиеті изохронности ие емес. Егер шағын мөлшерде шектелуі формула (29) тек екі бірінші мүшелері, онда актілерінде аламыз , жақын білдіру кезеңі

(30).

Қорытындылар
Алынған теңдеу қарапайым гармониялық тербелістер заңы, қозғалыс үшін шағын ауытқу, заң маятнигінің арқылы эллиптическую опцияны таңдаңыз.
Алынған білдіру үшін кезең маятниктің тербелістерінің.
Библиографиялық тізімі
Бухгольц Н. Н. Негізгі теориялық механика. — М.: Наука, 1969 ж.
Бурабай А., Херувимов А. Тербелістер мен маятниктер. — Ж.: Квант, № 8, 1981 ж.