Шексіз кеңістік дегеніміз не

Ал шын мәнінде, егер әлем шексіз болмаса…

Мүмкін осындай.

Көрсетіледі мүмкін.

Және тіпті ол кеңістіктің бір бөлігін алады деп түсінбеді. Әлем барлық кеңістікті алуы мүмкін, бірақ бұл кеңістіктің математикада белгімен белгіленген орын жоқ (шексіздік).

Мұны түсіну үшін бізге тек үш қадам жасау керек.

Алдымен мұндай кеңістікті жалпы контурда бейнелейміз, содан кейін барлық бөлшектерді сызыңыз.

Мәселен, бірінші қадам.

Бір өлшемді кеңістік.

Әдеттегі түсінікте ол бізге сандық түзудің бір түрі болып табылады.

Тікелей есептеу басталуын – О нүктесін және одан плюс ( + ) белгісі бар бір жаққа, минус ( — ) белгісі бар екіншісіне өлшеу бірлігі деп аталатын тең аралықтар арқылы белгілейміз +1, +2, +3, …,+ ∞ және тиісінше, -1, -2, -3, …, — ∞. Яғни, бір жағынан да, екінші жағынан да құрылғы-бұл бір өлшемді шексіз кеңістік.

Мұнда біздің сұрақ қоямыз: «бір өлшемді кеңістік болуы мүмкін бе?»

Көрсетіледі мүмкін.

Бастапқы суретте бізге келесі қадамдардың мәнін түсіну және одан әрі логикалық сипаттау үшін қажетті және жеткілікті болатын мысалдар ғана келтіреміз. Бұл ретте біз қандай да бір жаңа анықтамалар енгізбеуге тырысамыз.

Начертим шеңбері.

Бұл да бір өлшемді кеңістік.

Бірақ мұндай кеңістікті қалай өткізбеңіз, егер өлшем бірлігі үшін белгілі бір соңғы шаманы алсаңыз, онда белгіні осы кеңістікте еш жерде қоюға болмайды.

Бұл шеңбер – белгіні қамтымайтын бір өлшемді кеңістіктің жергілікті мысалы.

Екінші қадам.

Екі өлшемді кеңістік.

Жазықтықта екі өзара перпендикуляр түзу жүргіземіз. Оларды бірінші қадамдағы түзу сияқты, әрбір қиылысу нүктесін алып санау нүктесінен дәл белгілейміз. Осылайша, екі өлшемді шексіз кеңістікті анықтаймыз.

Мұнда тағы да біздің сұрақ қоямыз: «құрылымы жоқ екі өлшемді кеңістік болуы мүмкін бе?»

Көрсетіледі да мүмкін.

Қолыңызға глобус алыңыз.

Оның бетін жібітпеңіз, белгіні еш жерде қоюға болмайды.

Бұл сала – екі өлшемді кеңістіктің жергілікті үлгісі.

Үшінші қадамға көшеміз.

Екі өзара перпендикулярлы түзудің қиылысу нүктесі арқылы үшінші түзу, екі бірінші перпендикуляр. Оны алғашқы екі қадамдағыдай белгілейміз. Үш өлшемді шексіз кеңістік, дәлірек айтқанда, оны бейнелеудің тәсілі – Декартов координаттар жүйесі.

Бастапқы сұрақ қойыңыз: «белгіні қамтымайтын кеңістік болуы мүмкін бе?»

Көрсетіледі мүмкін.

Алғашқы екі қадамдағы мысалдар сияқты жергілікті мысал мұнда мүмкін емес.

Бұл жергілікті мысалдар декарттық координаттар жүйесінде осындай кеңістікті көрсету тәсілін алу үшін ғана келтірілген, ол ғаламдық түсінікте, өте-белгілі бір кеңістікті есептеу тәсілін анықтауға мүмкіндік береді – құрылғы белгісі жоқ кеңістікті.

Декарт координаттар жүйесінде мінсіз-белгілі бір кеңістікті көрсету әдісіне өтіңіз.

Бір өлшемді кеңістікке ораламыз.

Шеңберді түзуге қалай болады?

Шеңберде кез келген нүктені атап өтіп, оны есептеу басталғанда, тура – О (нөлдік мәні бар) сияқты дәл белгілейміз. Нүктеден шеңбердің жартысын кез келген жаққа өлшейміз және бұл белгіні М нүктесімен (яғни ОМ – шеңбердің жартысын кез келген жаққа) белгілейміз. О нүктесінен бір жаққа ( + ) белгісі бар, екінші жаққа минус ( — ) белгісі бар, ұзындығы бойынша бірдей аралықтармен тура таңбаны жасаймыз. Бұл ретте М нүктесі +m және-m екі мәнді алады.

Мұндай таңба бір өлшемді-белгілі бір кеңістікті (құрамында құрылғы жоқ) есептеу тәсілін анықтайды.

Шеңберді түзу етіп көрсету үшін, шеңберді М нүктесінде жыртып, шеңбер мен түзу нүктелерді біріктіріп, ОМ-нің жартылай айналуын түзуге болады. Ол шеңберді түзуде бейнелейді және бір өлшемді мінсіз-белгілі бір кеңістікті түзуде есептеу тәсілін анықтайды.

Яғни, о нүктесінен оң жаққа қарай шеңбер бойынша қозғалғанда біз +m мәні бар М нүктесіне жетеді, ол түзуде бір мезгілде-m мәні болады және одан әрі қозғалыс кезінде [-m,+m] кесіндінің теріс аймағына кетеді, ал одан әрі қозғалыс кезінде о түзу нүктесіне ораламыз.

Тік шеңберді бейнелеу өте қарапайым сипатқа ие-бұрмалаусыз. Жалғыз қиындау-М нүктесінің мәнін бөлу, бұл, шын мәнінде, әсіресе, өмір сүруге кедергі емес.

Сфераны жазықтыққа бейнелегенде қызықты.

География сабақтарын еске алайық.

Жер бетін ерекше бұрмалаусыз көрсететін сфералық беті бар глобус.

Әлемнің карталары бар – жазықтықта сфералық бетті көрсету. География сабақтары бойынша бейнелеудің екі негізгі тәсілі еске алынады: Бірінші тәсіл – екі шеңбер түріндегі екі жарты шар, екінші тәсіл – эллипс сияқты бір нәрсе, онда «забахананың» барлық сфералық беті бірден болады.

КБО-да тік бұрышты экранда жердің барлық беті шамамен екінші әдіс бойынша бейнеленген, бұл ретте шеңбер (спутниктің орбитасы) қандай да бір зигзаг түрінде бейнеленеді.

Белгілі бір бұрмалаусыз жазықтықта сфераны көрсету мүмкін емес.

Біз шеңберді жазықтыққа бейнелеудің осындай тәсілін таңдаймыз, ол бізге кілт береді тәсілі шот тамаша-белгілі бір кеңістік.

Координатаның басы үшін Солтүстік полюсті таңдаймыз.

Нөлдік меридиан бойынша Солтүстік полюстен оңтүстікке қарай қозғалысты бастаймыз.

Бұл қозғалысты жазықтықта көрсетеміз.

Солтүстік полюсті оңтүстікке қосатын түзу бөлікті аламыз.

Солтүстік полюске ораламыз.

Бұл жолы меридиан (180-му) бойынша Оңтүстік полюске қарама-қарсы бағытта қозғалысты бастаймыз.

Бұл меридианның солтүстік полюсті оңтүстікке қарама-қарсы жаққа қосатын кесінді түріндегі жазықтықта бейнеленуін аламыз. Оңтүстік полюсі бұл кезде «бөлінеді». Шын мәнінде, біз шеңберді түзуге айналдырдық.

Бұдан әрі қиял жетпейтіндерге қарындаш пен қағаз парағын қолға алу ұсынылады.

Егер біз барлық мүмкін болатын меридиандар бойынша дәл осындай жолмен өтсек, онда оңтүстік полюс біздің жазықтықта ортасымен-Солтүстік полюспен және меридианның ұзындығына тең радиуспен шеңбер түрінде бейнеленеді.

Ортадағы Оңтүстік полюс нүктесі жазықтықта шеңбер түрінде бейнеленеді.

Солтүстік полюс координаталардың басына тек көрнекілік үшін ғана алынған.

Бұл координаталардың басталуы саласында болуы мүмкін алынған кез-келген нүкте.

Мұндай бейнелеу кезінде бойлық бұрмалаулар (меридиандардың бойында) мүмкін емес (шеңберді тік бейнелегенде), ал ендік солтүстік полюстен кетіру шамасына қарай ұзындығын арттыратын концентрациялы шеңберлер ретінде көрінеді.

Бұл ретте Оңтүстік полюс шеңбер түрінде көрсетіледі.

Мұндай «суреттерге» сүйене отырып, қажет болған жағдайда көлденең бұрмалау коэффициентін есептеуге болады, ал ең дұрысы кез келген ендік үшін түзету коэффициенті.

Осылайша, егер тік шеңбер қандай да бір сызықты бұрмалаушыларсыз кесінді түрінде көрсетілсе, онда жазықтықтағы шеңбер тиісті көлденең бұрмалаушылармен шеңбер түрінде бейнеленеді.

Көрсету шеңберіндегі координаттар бар, біз координаттар және салада болады және осылайша осындай кеңістікті есептеудің дәл тәсілін аламыз.

Шеңбер мен сфера-бір өлшемді және екі өлшемді-белгілі бір кеңістіктің жергілікті мысалдары.

Енді біз үшінші шешуші қадамға дайынбыз – жаһандық түсіністіктегі үш өлшемді мінсіз-белгілі бір кеңістікті (таңбадан тұратын кеңістік) анықтау.

Мида ешқандай ашыту болмауы үшін барлық анықтамалар, соның ішінде тік, шеңбер, сфералар, Декарт координаттар жүйесінде берілген. Ал, координаттар Декарт жүйесінде тамаша-белгілі бір кеңістікті көрсету бұрмаланған болса да, координаттар Декарт жүйесі бізге мінсіз-белгілі бір кеңістікті (құрамында жоқ) дәл есептеу мүмкіндігін береді.

Есептеу нүктесі үшін мінсіз-белгілі бір кеңістік осы кеңістіктің кез келген нүктесін қабылдауға болады. Бұл нүктеге декарттық координаттар жүйесін санаудың басталу нүктесін байланыстырамыз және декарттық координаттар жүйесінде мінсіз-белгілі кеңістіктің көрінісін алуды бастаймыз. Санаудың басы арқылы өтетін декарттық координаталардың кез келген түзуін таңдаймыз. Бір өлшемді мінсіз-бұл бағыттағы белгілі бір кеңістік ортасы жергілікті мысалда тік шеңбердің бейнеленуі сияқты есептеу нүктесімен сәйкес келетін кесінді түрінде осы түзуде бейнеленеді. Басқаша айтқанда, егер біздің кеңістігімізде құрылғы болмаса, онда координаталар жүйесінің басынан осы түзу арқылы әлемнің меридианның ұзындығы деп аталатын бір және басқа жаққа өте отырып, біз санаудың басталу нүктесіне қатысты қарама-қарсы полюс деп аталатын бір нүктеде боламыз. Бір нүкте (полюс) осы түзуде екі нүкте түрінде шеңбердің тік кесіндісінде бейнеленуі сияқты бейнеленеді. Бір өлшемді кеңістіктегі осы түзу бойынша қозғалыс бір өлшемді кеңістіктегі координаталардың декарттық жүйесінде түзу кеңістікті бейнелеудің кесіндісі бойынша қозғалыс түрінде осы түзу түрінде бейнеленеді. Бұл қозғалыс бірінші жергілікті мысал сияқты есептеледі.