Математикалық мифология дегеніміз не?

Математикалық мифология және пангеометризм

Ашылды маған: заңдарда нақты саны,

«Бунтующей, ойлау апат —

Жоқ, бұл тек — игі иерархия

Жоғары өз запечатлели мағынасы.

Жұлдыз… Ол — непеременном блеске…

Бірақ жүгіреді летучий луч жұлдыз

Алмазами айнасы бойынша су

Және блещущие чертит арабески.

А. Белый. Рух (1914)

Айтқандай, тағы да О. Шпенглер, жоқ әмбебап стилін математикалық ойлау (әмбебап математика), өйткені жоқ әмбебап жалпы адамзаттық мәдениет. Әр дәуірдің және әр түрлі халықтар мен математика құжат соншалықты қатты, біздің алдымызда, бір мағынада, түрлі мәдени феномендері (мысалы, антикалық математика және математика нововременная).

Тағы бір маңызды тезис Шпенглера мынада бар теснейшая арасындағы өзара байланыс әр түрлі тараптар өмір осы мәдени ағза: антикалық математика глубочайшим түрде байланысты античными мифологией, дінмен, өнермен, сәулетімен, ұйымның қоғамдық өміріне және т. б., ал нововременная математика — тиісті тараптар нововременной мәдениет. Бұл екі шпенглеровских тезис үшін негіз болып табылады кез келген әлеуметтік-мәдени философия, математика.

Ниет білдіре отырып, бақылауға бұдан әрі процесін, саралау стилі және приглядываясь математикаға белгілі бір мәдени организм көреміз ұсақ бөлу. Мысалы, жағдайда, қазіргі заманғы еуропалық мәдениет болды қазірдің өзінде жалпы қабылданған противопоставлять математика «жұмыс істейтін математиктер» (working mathematicians) және математика, математикалық логиков және мамандарды негіздер бойынша.

Басқа мысал: А. Н. Кричевец ұсынады ажырату шеңберінде қазіргі заманғы мәдениет, кем дегенде, үш математика: математика кәсіби математиктер математиканы инженерлер, және математиканы физик.

Болады, әрине, жүргізсін және басқа да бөліну қазіргі заманғы математика. Әрі қарай бізге ыңғайлы болады бірнеше дамытуға различение А. Н. Кричевца. Біз бөлуге математика арқылы басым тяготение белгілі бір аралас облысының мәдениет: сонымен бізде пайда емес, тек математика физиктердің немесе инженер, бірақ және математика философ, математика суретшілер, математика ақындардың және т. б. Ерекше ереже мұндай бөлу кетеді математика кәсіби математиктер. Ол тікелей өзара іс-қимыл жасайды, басқа мәдениет салаларымен: мұндай өзара іс-қимыл әрқашан опосредовано бірі — «математик» аталған, біз жоғары.

Басымдықпен байланыс сол немесе өзге саласы мәдениет сияқты, орнату, тұратын избегании осындай байланыс жүктейді өзінің белгілі бір стиль, математикалық ойлау тән, осы «математика». Тіпті смотреть мұндай бөлу математика сияқты различение ойлау стилі par excellence.

Әлбетте, саралауды стильдер математикалық ойлау жалғастыруға болады және бұдан әрі, әзірге ескерту бірегей стилін осы математика немесе тіпті осы математикалық мәтінді. Алайда, қазірдің өзінде өндірілген жоғары ажырату жеткілікті болады біздің мақсаттар.

Әзірге біздер бөлетін сызық. Біз отделяли математика, түрлі мәдениеттер мен дәуірлер, біз мутазилиттердің математика және бірыңғай дәуірінің және бірыңғай мәдениет байланысты негізгі облысы қосымшалар. Енді қажет деп айтуға, әрине, мәдени организмде математика физиктердің емес обособлена желтоқсандағы математика кәсіби математиктер немесе орта мектебінің математика, күрделі түрде өзара іс-қимыл жасайды, олармен. Иә мен мәдениеттер арасындағы жоқ дегенмен өткізбейтін қалқаларды: антикалық математика және математика нововременная қарамастан барлық айырмашылықтар, бәрі бір шынжырмен «әлеуметтік эстафеталар» (М. А. Розов).

Дәл осы болғанымен, кейде өте нәзік, байланыс және мүмкіндік береді все ж таки үміттену мүмкіндігін түсіну, сол сияқты ақылға қонымдылығы сөйлесу туралы бірыңғай феномені математика (бірақ неғұрлым барабар осында еді салыстыру емес, біртұтас өмір, ал шынжырлы көрсетеді байланысты бірлігімен кармен).

Сонымен, дегенмен әмбебап әдістемесі жоқ, бұл дегенді білдірмейді бессмысленности сөйлесу математикаға мүлдем. Төменде айтатын боламыз ғана емес, белгілі бір стильде математикалық ойлау, бірақ түсінуге, математика жалпы, осы стильде провоцируемом.

Жеткілікті ыңғайлы түсіндіру үшін сонымен қатар, біз деп айтуға көрсетіледі гильгамеш туралы дастан ұғымдар-ыдыстар мен ұғымдар-типті, производимое Р. Арнхеймом. «Ұғым-сыйымдылығы — бұл қасиеттері, олар бойынша білуге болады осы түріне мәнін. Тип — бұл құрылымдық негізі мұндай түрінің мәні».

Біз тырысып одан әрі келтіруге қажетті және (жиынтығында) жеткілікті тізбесі шегін анықтайтын математикалық ойлау. Иә, осындай тізбесі және мүмкін емес жасауға (бұл жерде орынды еске атақты пайымдау Витгенштейна о понятии «ойын»). Алайда, ол кем қызықты талпыныс тап бір образ, жеңіл алғандығы құрылымы-гештальт, ол берді еді сезім прозрения құпияны математика.

Бұл ретте жеткілікті түсінікті сипаты осындай «прозрения» тәуелді сайланған көру бұрышын математикаға (біздің жағдайда, көзқарас, оған тұрғысынан байланыс көбінесе осындай облыстары мәдениет, дін, философия, өнер, т. е. болуы керек sub specie artis).

Таңдау өзге көру бұрышын келтірді еді өзге бейнесі, бірақ сайлауға бір көру бұрышын және болжайды терістеу заңдылығы басқа, ал, біз отказываем құқығындағы болуы басқа да мүмкін тәсілдері. Сонымен қатар, біз жай ғана избираем мұнда белгілі бір ракурс, бірақ тырысамыз сақтауға соң, әзірге дамытып, ой осы бағытта. Бұл саналы әдісі.

Бастау жаратылыстану бастап білдірген «математикалық мифология». Түсіндіру үшін бар нәрсенің есте, бізге шығар. — кім айтады.

Бұл математикалық мифология
Платоновский Тимей дейді: «удивляйся, Сократ, біз қарастыра отырып, көптеген қарым-қатынастарда көптеген нәрселер сияқты құдайлар мен туылуы Ғаламның, жетеміз, біздің өзіндік жұмыстарды орындады толық дәлдік және қайшылықсыз. Керісінше, біз қуанып, егер біздің ойлау мөлшерінен кем ықтимал қарағанда, кез келген басқа, оның үстіне есте сақтау, рассуждающий, және сіз, менің судьяның, тек адамдар, сондықтан бізге тиесілі довольствоваться осындай мәселелеріндегі ықтимал бекшин талап етпей-ақ, көп».

Мифология «Тимея» құрамында математикалық элементтері. Бұл ғана емес, миф, бірақ миф математика. Мұнда және пайымдау туралы шарообразности ғарыш, және бөлу әлемдік жанның сәйкес белгілі бір арифметическими заңдылығымен, және барлық туралы ілім төрт стихиях қамтитын әйгілі талқылау туралы дұрыс многогранниках. Сәйкес Проклу, «Платон көптеген таңғажайып туралы ілімнің богах баяндайды бізге арқылы математикалық нысандары», және бұл «барлық тәсілі Пифагора үйрету туралы богах».

Сол мағынасы математикалық миф? Бір тартымдылығы дәл математикалық мифологиясы үшін антикалық ойшыл? Осы сұрақтар бойынша біз табамыз сонымен қатар Платон, бірінші кезекте диалогында «Мемлекет».

Біріншіден, мұнда өте айқын көрінеді, яғни миф жұмыс істейді динамикасы платондық ой. Соңында VI кітаптар салынуда өзара байланысты иерархия болмыстың және танымдық қабілеттерін, сонымен қатар оларға дамуда тиісті мифологическая конструкциясы, ол табады түпкілікті аяқтау қазірдің өзінде VII кітабында әйгілі мифе туралы пещере. Мәні бойынша Платон параллель возводит екі тығыз байланысты арасындағы орындарымен бірге корей м конструкциялары — метафизическую және мифологическую. Олардың өзара байланысы ұйымдастырылады арқылы кеңінен қолданылатын Платоном принципін пропорция немесе ұқсас.

Келтірейік мысал ретінде ғана шағын фрагменті осы құру. Қамтылған VI кітабында туралы ілім Мүддесі ұсынылуы мүмкін мынадай орындауға тиіс.

Числители шыққан бөлшектерді жатады облысының шынайы болмыс, ал знаменатели — бұл сезімдік жүргізушілерімен қабылданған (зримого). Метафизическую арасындағы байланыс ойлау, идеялар мен Игілік ұсынылады түсіне ұқсас, бір-бірімен көру, көрінетін оның көмегімен заттар мен, тек мен делающие мүмкін болуын көру және көзге көрінетін әлем, Күн және оның сәулесі. Біздің душ, погрязшая » чувственном әлемде, және біздің тілі, бейімделген артықшылықпен білдіруге заттар мен қарым-қатынастар, әлемнің мүмкіндік береді, ол арқылы, мұндай пропорцияда ұсынуға, белгілі бір дәрежеде, және сверхчувственное қатынасы сверхчувственных заттар. Бұл тұрады, сірә, басты мағынасы ретінде келтірілген құру мен аңыздар туралы пещере, бұл құру елдімекен ұлғайып келеді VII кітабында.

Екіншіден, сол кітаптар «» біз табамыз бар ғана емес, бар функцияларды платоновского миф мүлдем емес, ерекше ойларымен бөлісті дәл математикалық миф. Бұл жерде атақты туралы ілім срединном положении математика, және осыдан туындайтын айрықша рөлі соңғы процесінде таулар » шыңына жеттік жан жылғы әлемнің сенсорлық әлемге шынайы. Ретінде түсіндіреді бізге Платон және Прокл, математикалық конструкциялар жақын әлемге шынайы, аса ерекше және өте тұрақты, ол текучие бейнелері сенсорлық әлем, алайда, толық бос материальности (hyle phantaston) құруға мүмкіндік береді, олардың негізінде миф емес, миф астам правдоподобный, астам барабар шындыққа шынайы әлем.

Саты математикалық — аралық саты баспалдақтары, жөн диалектика. Алайда, (ол жиі байқамайды!), көшу саты диалектиканың дегенді білдірмейді у Платон бас тарту (бұл бәрінің сатысында математика. Бұл ретте өту қажет болуы тиіс түсіну, ұғыну, сол алғышарттар, олар қалған неосознанными және неосмысленными алдыңғы сатыда, бірақ математикалық пәндер танылады «көмекшілері мен попутчиками» (Платон) диалектикалық әдісі, оның «демеу және азбукой» (Алкиной).

Ретінде өте мәнерлі мысал көрсетуге болады соңғы трактат «Эннеад» Бөгеті. Трактат Туралы «мүддесі немесе бірыңғай, өзінің тақырыбына, әсіресе айқын анықтаса, двойственное қатынасы (математика, негізделген промежуточностью оның мәртебесі), тән платоников.

Бір жағынан, наставляя қалайтындарға философствовать туралы бірыңғай, Бөгеттер талап етеді «созерцать бірыңғай емес присоединив бірде-бір чувствования және ештеңе оного отырып емес, оған, бірақ созерцать чистейшее таза ақылмен және бұл ақыл бірінші». «Болды, — деп жалғастырады Бөгеттер, — қосылған созерцанию міне, осындай воображает осы табиғат немесе шамасын, немесе фигураны немесе массасын, ақыл айналады жолсерік оған созерцании, өйткені оәб прирождено көре олар болса, ал бұл — қызмет чувствования мен пікірлерін келесі чувствованием».

Сонымен, тыңғылықты қарауға бірыңғай жөн отринуть әр түрлі бейнелері (өзіндік сезімдік және математикалық), өйткені бірыңғай безвидно, ағызып әр салауатты (aneideos).

Екінші жағынан, оқып трактат бұдан әрі, біз айқындаймыз, Бөгеттер белсенді тартады әр түрлі бейнелері, әсіресе, математикалық, және дәл айту үшін (= ойлау) туралы бірыңғай. Мұнда туындайды бейнелері, геометриялық нүктелер және арифметикалық бірлік. Тұрғысынан қарау трактаттың», — дейді Бөгеттер, біз атаймыз «бірыңғай және нераздельным емес, біз қалай атаймыз нүктесін немесе бірлік ; өйткені, сол, бұл мәні бірыңғай осылайша, жыл саны, ол еді, жоқ, жоқ бол, алдымен оның мәнін және сонымен қатар, ең алдымен мәнін (сонымен, қажет емес вперять мұнда ой); алайда алғашқы әрқашан ұқсас соңғы соответствиях (ұқсас — В. Ш.) қарапайымдылығы және избеганию көптеген және бөлу».

Бұдан әрі бұл ойы дамиды. Дамуымен (эманацией) салауатты нүктелері көрсетіледі бейнесі шеңбер, содан кейін сала (көп нүкте ретінде енді. Душқа арналған гель, деп жазады Бөгеттер, «біледі, бұл оның қозғалысы емес, тура, ну сонда ғана ол жақсартуға бағытталған ауытқуы, свойственное сол оған табиғаты бойынша қозғалысы, бұл қозғалыс шеңбер бойынша айналасында емес нәрсе вовне, ал айналасында орталығы, орталығы — онда, неге жүреді шеңбер болса, онда ол қозғала, бұл айналасында, коего жүреді, және болады бұл тарта отырып, өзін сол өзіне, коему пристало влечься барлық әңгіме өрбіді <…>. Ал бұл қалай орталығы жан бар ма искомое? Немесе мойындау керек нәрсе басқа, ол барлық қалай орталықтары сәйкес келеді? Мен мойындауға, бұл — «орталық» ұқсас здешним айнала ма ? Және босануға, душқа арналған гель — шеңбер сияқты пішіні бар, бірақ, өйткені оған және оның айналасында ежелгі табиғат, өйткені ол жиі «осындай», ал одан да сондықтан, бұл жанның бөлінуі көрсетіледі. Қазір сол бір бөлігі бізді ұстап денесімен, егер біреу жарымында аяқ суда, қалған сияқты денесімен вздымался, біз еліміз жоғары тем-деп притоплено денесімен, бұл-онда соприкасаемся орталығында өздері өздерін қалай орталығы барлығы сияқты орталықтар көп топтарының есебінде орталығы объемлющей сала, демаламыз. Ал егер шеңбер болды телесными емес, душевными, онда олар кеңістіктік соприкасались еді және орталықпен, орталық орналасқан, онда, еді оған айналасында; бірақ коль көп ұзамай өздері де жан умопостигаемы, мен «онда» превыше ақыл тиіс деп болжауға жанасуына арқасында жүреді басқа да күштерге».

Сол геометриялық бейнелері Бөгеттердің пайдаланады және бұдан әрі: «міне, сол кезде видящий емес көреді, және ажыратады және ұсынады, өзі екі, ал, словно атанып басқа, ол, мен емес, өзі және өзінің жатады сонда, және атанып, «басқа», ол бар бірыңғай қалай совместив орталығы орталығы. Және мұнда орталықтары мәні біртұтас, совпав, — двоица, олар бөлек. Сондай-ақ біз қазір деп айтамыз, онда» басқа. Сондықтан-онда мен трудновыразимо көрініс. Өйткені кім-не смог бы поведать туралы «, оның» өзге узрев онда ол созерцал, өзгеше, ал бірыңғай өзімен өзі?»

Бұл сонда? Бөгеттердің ұмытып туралы өз увещаниях? Жоқ. Сонымен қатар, ол бірнеше рет қайталайды оларды араластыра жоғарыда келтірілген рассуждениями пайдаланатын бейнелер бірлік, нүкте, шеңбер, сфера және үлкен топтар).

Сонымен қатар, өздерінің осы өзіндік жұмыстарды орындады ол үнемі ескертулер: «керек емес вперять мұнда мысль», «как бы», «орталық»,» ұқсастық», «босануға, душқа арналған гель — шеңбер, фигурасы» және басқа да көптеген.

Барлық осы жағдайды ол соңында трактатының түсіндіреді келесі салыстырумен: құштар — постижению бірыңғай «мүлдем ретінде некто енген вовнутрь ғибадатханалар мен оставивший артта мүсіндер ғибадатханада, вышедшему бірі ғибадатханалар қайтадан предстают бірінші кейін көріністердің ішіндегі қарым-қатынас және онда емес, изваянием және табыс, ал «өзі», және олар болды, көрсетіледі кейінгі зрелищами. <…> Ал бұл көріністер — ұқсастық; және, өйткені дана из прорицателей олар намекают, сол құдай зрится; ақылды сол абыз, уразумевший тұспал еді, қалсаңыз, онда ғибадатханасы, созерцание шынайы».

Барлық айналады, біз түсіне бастадық үшін Бөгеті бар екі математика сияқты екі қарым-қатынас сезімдік воспринимаемому). Олардың бірін ол қабылдамай қояды, ал басқа приемлет. Бұл жаңағы екі математика, осындай қатаң противопоставляет Платон «Мемлекетте» — «торгашеская» математика «және» математика «философиялық», «математика» өзі (немесе тіпті бағдарланған техникалық қосымшаның алу мирской пайда) және математика «демеу және әліппесі» диалектиканың (математикалық диалектика немесе диалектикалық математика). Басқа сөздермен айтқанда, Платон, сондай-ақ Бөгеттердің шеттетеді математикалық образдар ретінде мұндай және қолдайды, олардың элементі ретінде миф. Шынайы үшін математика — бұл математикалық миф, бұл ғибадатханада мүсіндер, олар қоршап ғибадатханасы.

Одан отчетливое білдіру осы ой табамыз Николай Кузанского, полагавшего дәл математика «жақсы көмектеседі түсінуде әртүрлі Божественных шындықтың». Деді ол былайша: «Көрінетін шын мәнінде бар бейнесі көрінбейтін» Жаратушы «көруге болады творению қалай айнадағы мен подобии». Егер «разыскание жүргізілуде дегенмен негізге ала отырып, подобий, керек, оның салты, отталкиваясь оның біз переносимся — белгісіз солдат болған жоқ, кем дегенде, ештеңе двусмысленного; бұл жолы белгісіз солдат болуы мүмкін тек алдын ала және сөзсіз белгілі. Бірақ барлық сезімдік айғай-қандай да бір тұрақты шаткости байланысты молшылық, онда материалдық мүмкіндіктері. Ең сенімді және ең біз үшін несомненными көрсетіледі, сондықтан мәнін неғұрлым абстрактілі, онда біз отвлекаемся жылғы чувственных вещей, — мәні, олар мүлдем айырылған материалдық тіректерді, онсыз олардың болар еді болмайды елестету, және емес бейім текучей. Осындай математикалық пәндер». Сондықтан, «егер кірісуге Божественному бізге берілген тек рәміздер арқылы, онда барлығы ыңғайлы пайдалана математикалық белгілермен олардың бұлжымайтын дұрыстығын».

— Математикалық мифологиясы жатқызылуы мүмкін атақты талқылау Николай Кузанского «De docta ignorantia» пайдаланатын динамикалық мүмкіндіктерін геометриялық фигураларды: шар шексіз радиусы, оның орталығы барлық жерде, ал перифирия — еш жерде; көпбұрыш, вписанный шеңберіне саны бұрыштарының оның шектелмеген үлкееді; совпадение шексіз түзу және шеңбердің шексіз радиусы және т. б.

Обратим, математикалық конструкциялар атанып, бір бөлігі миф бастайды өмір сүру-ерекше өмір. Мұнда туындауы мүмкін, иә шын мәнінде туындайды, пайымдау, көрінетін мүлдем аты адам үшін, непривычного — осындай ойлау стилі. Еске түсіру де жеткілікті қазірдің өзінде аталған ойлау Платон туралы дұрыс многогранниках, немесе көптеген дәлелдер пайдасына жетілдіру онкүндігі «Теологуменах-сырын меңгеруде», байланыс желісін — Спевсиппу, ал мүмкін және Филолаю немесе тіпті ерте пифагорейцам.

Ерекшеліктері туралы тиісті көзқарас математиканы әңгімелесетін боламыз сәл төмен, ал, қазір қарап кейбір жақын және біз үшін үйреншікті тәсілдері істеу математикалық құрылымдармен жүрген, соған қарамастан, ең тығыз өзара туыстық байланысты математикалық мифологией.

Вырождение математикалық мифология: математикалық конструкция ретінде парадигмальные схемасы

Біріншіден, бірнеше мысалдар, қарызға алынған у Лейбниц.

«Қарапайым субстанциялар кедергі көп модификациялары, олар бірлесіп өмір сүре сол қарапайым субстанциялар және құрамында түрлі қарым-қатынастар сыртқы заттарға. Дәл орталығында, немесе нүктесінде, ол да қарапайым, орналасқан шексіз көптеген бұрыштарының құрылған желілерімен, онда кездесіп тұрады».

«Жағдай жасалған тепе-теңдік химеричен: ол ешқашан да кездеседі, сондықтан универсум болмайды кесуге немесе бөлуге екі мүлдем бірдей және ұқсас. Универсум, эллипс немесе басқа да осыған ұқсас сопақша (бар түрі: айырмашылығы, эллипс немесе басқа ұқсас сопақ — В. Ш.), болмайды таратуға арқылы жүргізілген орталығы арқылы сызық екі ұштасатын. Универсум жоқ, және оның шексіз әр түрлі болып табылады; демек, ешқашан жағдайды барлық екі жақтарында болады бірдей болады бізге тең әсері».

«Бірақ барлық сосредотачивал ой берместен, оған блуждать тұман қиындықтар, маған келді басына өзіндік ұқсастығы арасындағы истинами және пропорциями, ол берілуінің жарқын жарық, барлық тамаша түрде түсіндірді. Конденсаторы ретінде, кез келген пропорцияда аз саны қосылады көбірек немесе тең » тең, ал, кез келген ақиқат предикат қатысады субъектісі; себебі, кез келген пропорцияда, ол бар арасындағы біртекті (ұқсас) количествами (сандармен), жүргізілуі мүмкін, бұл әлдебір талдау тең немесе сәйкес келетін және аз болуы мүмкін отнято үлкен шегеріле бірі үлкен бөлігіне тең құнның азы және осындай от вычтенного мүмкін отнят қалдығы және бұдан әрі, үздіксіз, тіпті шексіздікке дейін; дәл және талдау шындықтың орны бір термин әрқашан подставляется тең дәрежедегі оған, сондықтан предикат разлагается бір бөлігі қамтылған, субъектісі. Бірақ дәл осы пропорцияда талдау кездері әлі біте салмайды студенттің жалпы шамасы, ол өзінің қайталайды толығымен анықтайды екі терминнің пропорция, талдау кейде жалғасуы мүмкін » шексіздік, кейде салыстыру кезінде ұтымды және алдамшы түрде күніне немесе тараптар мен диагоналі шаршы ұқсас осы ақиқатты кейде доказуемыми, т. е. қажетті, ал кейде — туынды немесе кездейсоқ, ешқандай талдау мүмкін емес келтірілуі тождеству де жалпы шамасы. Ал бұл болып табылады негізгі айырмашылығына, қолданыстағы үшін пропорция және шындықтың».

Бұл үш бөлімді, алынған түрлі жұмыстарды Лейбниц, біріктіреді мынадай: контекст метафизического пайымдау енгізіледі математикалық фрагменттері. Бұл ретте автордың өзі қабылдайды, оларды «өзіндік ұқсастығы», жеткілікті кездейсоқ ввязавшиеся оның ой метафизическим рассуждением. Мысалы, тағы бір жерде, Лейбниц деп жазады, ол ауыр ой жүгірту «жатырмыз, қалай біріктіру бостандығына және кездейсоқтық шынжырлы себепті байланысты және провидением». «Бірақ кенеттен, — дейді ол, — блеснул маған әлдебір невиданный және күтпеген жарық, явившийся жерден, қайдан мен, кем дегенде, ең алдымен күтпеген соң, математикалық байқаулар үстінен табиғаты шексіз. Өйткені, адамзат ақыл-бар екі ең запутанных мәселені («екі лабиринтті»). Олардың біріншісі қатысты құрылымының үздіксіз, немесе континуум, ал екінші — табиғат, бас бостандығынан туындайды, олар бір шексіз көзі».

Қиын емес көруге арасындағы байланыс келтірілген рассуждениями Лейбниц және математикалық мифами Платон мен Николай Кузанского. Алайда, қиын емес ескеру, сондай-ақ елеулі айырмашылықтар: біріншіден, тарту математика болып табылады енді саналы, дәйекті және жүйелі түрде өткізілетін танымдық қабылдау; екіншіден, математикалық конструкция емес, ірі осы өзіндік жұмыстарды орындады ерекше өмір, олар дайын күйінде кадастрынан алынады қарамастан дамыған математикалық теориялар. Осы жерде байқалады да вырождение математика миф, ұмытылмас оларға өз тамыры. Сыртынан қарағанда, бәрі де математика мифе, бірақ жоқ болып кеткені тереңдігін өлшеу, қалды тек беті, утратившая өз мағынасы мен неспособная өз бетінше өмір сүруге және дамыту.

Енді біздің алдымызда ғана ұқсастығы немесе моделі, жалғыз мағынасы — дать көрнекі түрде ұсыну өзімен өзі аз көрнекі метафизическим рассуждениям. Вплетенная » метафизический контекст математикалық конструкциясы қызмет етеді, мұнда үлгі (парадигма) үшін көрнекі ұсыну метафизических қарым-қатынастарды ұсынады, олар үшін анық бейнесі. Ниет білдіре отырып, ажырата мұндай қосымша математика желтоқсандағы математика миф, біз атай тиісті математикалық конструкциялар парадигмальными схемаларымен.

Байқау оңай, математикалық бекшин және пайдалану математикалық конструкциялар рөлін парадигмальных схемаларын жүргізу мүмкін болмағанда отчетливой шегендеу желісі. Әрбір нақты жағдайда пайда болуы мүмкін күмән — бұл біздің алдымызға? Егер түйе-төрт түліктің төресі «Тимее» Платон — тезірек математика миф қарағанда, парадигмальная схемасы, ал геометриялық және арифметикалық құрылымдар мәтіндерінде Лейбниц — vice versa, онда ол болып табылады «мүлдем-дөңгелек шар» поэмасында Парменида айтуға қазір қиын. Бұл ретте бір және сол автордың қатар толыққанды математикалық мифами кездесуі мүмкін және вырожденные нұсқалары, мысалы, қазірдің өзінде аталған жоғары пристрастие Платон пайдалануға конструкциялардың геометриялық пропорция және геометриялық ұқсастық ретінде ұйымдастыру әдістерінің иерархиясы.

Жағдай одан да күрделене түседі, бұл жеткіліксіз оқуының ұғынуы және алдын ала ойластыру арасындағы байланыс барысын метафизического пайымдау және тартылатын үшін оның иллюстрациялар математикалық аналогиями (жағдайда, Лейбниц, тек еміс догадывающегося туралы неслучайности болып табылатын оның ой метафизико-математикалық параллель ретінде тергеуде бірлігі, олардың шексіз көзі»), жиі әкеледі соншалықты үлкен неосознаваемой байланысты барысын метафизического пайымдау алдағы ой-математикалық схемаларын (получилось у Лейбниц), кейде тіпті шынайы математикалық экспансия.

Бұл үшін тиісті математикалық конструкциялар екіталай привносятся » метафизические пайымдау ғана post қарауға бере алады, негізгі сурет пайымдау қазірдің өзінде қалыптасты. Ретінде ерте кезеңдерінде қалыптастыру, ой, тиісті математикалық конструкциялар қалып емес, пассивті. Көрнекілік осы конструкцияларды, отчетливость математикалық білім, оларды, тіпті, «навязчивыми» анықтай отырып, олардың белсенді әсері сол жолда олар сайлайды тұрған қалыптасу кезеңінде метафизическая ой.

Мәтіндер Лейбниц таңдалды біз мысал ретінде, әрине, кездейсоқ емес. Алайда ойлау керек емес, олар единственны бірегей, яғни ретінде пайдаланылады, оның ішінде математика.

Пайдалану математикалық конструкциялар рөлін парадигмальных — схемалардың кеңінен таралған құбылыс ғана емес, арасында философствующих математиктер сияқты, Лейбниц және Г. Вейль, немесе ойшылдарының алған жақсы математикалық білім сияқты П. Флоренский, бірақ өте алыс желтоқсандағы математика ойшылдарының, мысалы, Вл. Соловьева. Дегенмен соңғы жағдайда жинағы қолданылатын математикалық конструкциялар себептер бойынша айтарлықтай кедей.

Көп таралған алуан түрлі схемалар және диаграммалар: диаграмма Эйлер – Венна пайда болған логикалық ғасырына дейін құрылымдардың связавших математикалық логика және топологияны; диаграммалар, қолданылатын мектебі Г. П. Щедровицкого, тілі мен суреттер, развиваемый А. Г. Барабашевым; диаграммалар А. Ақ және т. б.

Біз көрсеткен ең жарқын мысалдары. Алайда, кез-келген иллюстрирование пайымдау арқылы көрнекі схемасы жасалған «кружочков», «прямоугольничков», «стрелочек» және т. б. тұр оңай заметном өзара туыстық байланысты математикалық құрылымдармен рөлін парадигмальных схемаларын бола отырып, одан азғындалған нұсқасымен математикалық мифологиясы. Бір қызығы, бұл диаграммалар мен сызбалар ие «навязчивостью» математикалық білім мен қабілетті, бас демеуші » мысль (бұған ерекше назар аудартады. А. Ж. Барабашев).

Математика ретінде эстетикалық феномен және пангеометризм тәсілі ретінде түсіну табиғат математика
Алдыңғы тармақтарда көрсетілді белгілі бір контекст, онда болуы мүмкін және бар математикалық конструкция. Көрейік беруге өзіне есеп кейбір анықтайтын ерекшеліктері осындай, олардың жұмыс істеуін.

Біріншіден, обратим көңіл таза, сапалы квалитативный, көзқарас математикалық конструкциялар. Бұл ерекшелік жеткілікті айқын байқалады жоғарыда келтірілген мысалдар.

Екіншіден, болмауы қажетті арасындағы байланысты мұғалімдер қарау нысанасы және математикалық конструкциясы. Келтірейік тиісті мысал.

Бар тұтас дәстүрі пайдалану геометриялық салауатты шеңбер (шеңбер) анықтау үшін ара Божественных ипостасей (hypostasis), оның ішінде үш кезінде бірлікте мәнін (oysia). Алайда айтылуы мүмкін бірнеше әр түрлі.

Осылайша Николай Кузанский салыстырады Құдайдың барынша шеңберімен, оның күшіне единственности максимум, центр, диаметр мен шеңбері тепе-тең. «Шығарсың, — деп жазады ол, — бұл қарапайым және бөлінбейтін максимум тұтастай тереңде жатып қалады ішіндегі барлығы да шексіз орталығы, ол сырттан барлығы қамтиды да шексіз шеңбер және ол барлық пронизывает ретінде шексіз диаметрі. Ол басында барлығы орталығы ретінде, соңына барлығы да шеңбер ортасы барлығы ретінде диаметрі. Ол қолданыстағы себебі орталығы ретінде, формальды себеп ретінде диаметрі, мақсатты себеп ретінде шеңбер. Ол дарует болмыс орталығы, бұда ретінде диаметрі, сақтайды ретінде шеңбер, және тағы сол түрі». Шамасы, бұл бірлік шеңбер бейнелейді мұнда Әкесінің бірлігі ретінде, диаметрі ретінде сипаттайтын теңдік шеңбердің барлық бағыттар бойынша — Ұлы теңдік ретінде бірлігі, шеңбер, замыкающая және байланыстырушы шеңбер — Рух ретінде байланыс Әкесі мен Ұлының.

Бірнеше басқаша у Кеплер: «Өмір Үштік Құдай — бұл сфералық беті; басқа сөзбен айтқанда, Құдай-Әкесі, Құдай-Ұл — сыртқы бетінде, ал Құдай-Киелі Рух — теңдік қарым-нүктесі мен беті». Орнына шеңбер біз бұл жерде іс шармен, элементтері, олармен связывались Ұл және киелі Рух, өзгерді кей жерлерде.

Түсіндірген, неге Құдай троичен емес, четверичен, пятеричен және т. б., Николай Кузанский пайдаланады бейнесі үшбұрыш ретінде қарапайым бірі многоугольников: «Четырехугольная фигурасы емес, аз, бұл анық, себебі үшбұрыш аз; бұл простейшему басталды, ол сәйкес келуі үшін ғана ең аз, төртбұрыш, әрқашан құрамды және, өйткені көбірек минимум, бөлуге мүмкін емес».

Қарастыра отырып, сол сұрақ, П. А. Флоренский тартады өзге бейнесі: ол көреді ұсынуға өзіне өзара орналасуы нүкте шеңбер. «Үш ипостасях, — деп жазады ол, — олардың әрқайсысы тікелей жанында әр, қарым-қатынасы екі ғана мүмкін опосредствовано үшінші. Олардың арасында мүлдем етеді біріншілігі. Бірақ кез келген төртінші тұғыр енгізеді қарым-қатынасқа алғашқы үш сол немесе өзге де тәртібі және, демек, орындарымен бірге корей м қояды ипостаси «неодинаковую қызметіне қатысты өзіне, ипостаси төртінші».

Обсуждаемое болмауы қажетті байланыс қызық үгедейдің өзінде «Тимее». Ниет білдіре отырып, құрастыруға түйе-төрт түліктің төресі-бірі тік бұрышты үшбұрыштар, Платон сайлайды екі ең «тамаша», олардың тең бұрышты және «сол, ол біріктіру ұқсас оған түзеді үшінші үшбұрышы — тең қабырғалы» (деп аталатын гемитригон). Бірінші сайланған үшбұрыштар «жақсы» түсінікті себебі — оған тең катеты. Бірақ неге барлық неравнобедренных тік бұрышты үшбұрыштарды таңдалған дәл гемитригон? Бұл Платон емес деп түсіндіреді: «Негіздеуге болар еді тым ұзақ (дегенмен, егер кім изобличил бізді дәлелдеді кері, біз қуана мойындады, оны жеңімпаз)».

Екі аталған болу ерекшеліктері математикалық конструкциялар «такфирлер» алғашқы бізді мәдени контексте болып табылады жеке көріністеріне астам жалпы үрдістері — тартылыс қабылдауға математика эстетикалық феномен. Эстетикалық — кең, бастапқы мағынада — aisthesis — сезімдік қабылдау (бірінші кезекте көру).

Грек математика көбінесе геометрична, ал платонической дәстүр дәл геометрия көрсетілді ең «математикалық» барлық математикалық пәндер, пән неғұрлым толық воплощающей срединное ереже математика арасында сезімтал және эйдетическим. Дәл осы эстетикалық жағы математика анықтайды өзіне неғұрлым толық математикалық мифологиясы.

Өткендей, кез-келген спецификалық облысы қосымшаның математика мүмкіндік береді жаңаша математиканы мүлдем. Қандай болашағын түсінуде математика ашады бізге математикалық мифология және математикалық конструкциялар рөлін парадигмальных схемаларын?

Бұл аспектіде түсінудің кілті табиғат математика ең табиғи ұсынылады іздеу, әрине, неғұрлым көрнекі, «зримой» математика — геометрия.

Қазірдің өзінде Прокл анық облысында басты ерекшелігі геометриялық ой: ол беруге қабілетті толыққанды білу туралы өз заттарда ғана көмегімен қиял (phantasia), отразив оларды воображаемой материяның (hyle phantaston). Пәні математика емес умозрителен, бірақ қабылдаймыз сезім. Ол таңғажайып түрде атсалысатын және сол және басқа да, Аристотель облысында » парадоксальных қоса атқаратын ұйымдарға басты противоположности платонической онтологии терминдер hyle noete («мыслимая материя») және noys pathetikos («рыболовецкий ақыл-ой»).

Геометриялық қиял Прокла көрсетіледі бір мезгілде совмещающим өзіне еді несовместимое: таза белсенділігі (noys) және таза енжарлық (hyle). Таза ой (noys theoretikos), овеществляясь жүгінеді геометрия noys pathetikos, ал материя сенсорлық қабылдау (hyle aisthete), очищаясь, кітапта да «жіңішке» геометриялық материя (hyle noete, hyle phantaston).

Келесі маңызды қадам осмыслении табиғат геометриялық ойлар жасайды Кант. Прокловскому различению hyle aisthete және hyle phantaston у Канттың сәйкес келеді гильгамеш туралы дастан эмпирикалық және таза бейнені (reine Anschauung). Оның үстіне Кант анық атайды да, бұл таза созерцание — кеңістігі»+», — деді. Мұнда «кеңістік және уақыт» білдіреді сол әмбебап іргетасы, ол тиісті ойдағы эксперимент анықтаса, негізінде кез келген біздің ұсынған. Геометриялық ойлау бар кеңістіктік-уақытша конструкциялау, ал пән геометрия — кеңістік және оның қарым-қатынас, уақытша серпіні кеңістіктік конструкцияларды.

Шын мәнінде, эстетикалық аспектіде қызмет геометра кітапта қалай ұйымдастыру және переорганизация кеңістік элементтерін, уақыт, ал мақсаты — зерттеу қазіргі мындасыз мүмкіндіктер. Міндетін шеше отырып келген элементарлық геометрия, біз тура және шеңбер, фиксируем олардың қиылысу нүктесі ретінде. Содан кейін зерттеп құрылғы получившейся конфигурациясы: қаншалықты «қатаң» қойылған шарттарды тіркейді, тиісті «конструкциясын» қанша әртүрлі конструкциялы болуы мүмкін «жиналды» деректер элементтерін және т. б.

Әсіресе атап өту маңызды, бұл біріктіру кез келген екі элементтерін осы қызметке тікелей беріледі, бізге созерцании, біз тікелей «көреміз», олар «құралған, сөздері» — бірімен. Дәлелдер мен есептеулер эстетикалық аспектіде предстают ретінде салыстыру және салыстыру әр түрлі элементтерінің зерттелетін конструкцияның.

Нарисованная көрініс тудырады, алайда, бірқатар мәселелер және түсініктеме талап етеді.

Біріншіден, обратим внимание на то, как көрінеді біздің простейшем случае платоническая тақырыбы аумақтарымен ережелері геометриялық арасындағы таза белсенділігі және таза қосалқы баяндауыш. Бір жағынан, айқын белсенді, сындарлы басталуы — біз порождать сол немесе басқа конфигурация по собственному желанию.

Екінші жағынан, біз, мысалы, заставить екі түзу «жасаса кеңістік», та сәрсенбі, онда біз разворачиваем өзінің сындарлы белсенділік, өзіндік заңдылықтары мүмкіндік бермейтін біздің құрастыру мүмкін мүлдем произвольным, накладывая оған өз шектеулер. Бұл сәрсенбі ие «косностью», ол сопротивляется формующей қолында жаратушы, бұл сәрсенбі материальна — өзектендіру онда болады тек жол беріледі, оны өз потенциями. Сонымен қатар, қызмет геометра, қарағандалар, және бағытталған дәл анықтау, осы потенциал емес, ләззат меншікті произволом. Сонымен қатар, сындарлы басталуы қарапайым геометриялық қызметін біз явственно сезінеміз және қатысуы басталғанға рецептивного.

Екіншіден, ерекше тоқталып кантовском различении таза және эмпирикалық. Қаншалықты математикалық ой шын мәнінде бос жылғы эмпирикалық білім? Рассуждая, геометр чертит таяқшамен құмдағы, бормен тақтаға немесе қаламмен қағазға. Сол немесе басқа эмпирикалық «подпорки» тұрақты ұстап, геометриялық мысль. Қандай мағынада айтуға болады, ол олардан тәуелсіз? Себебі жақсы белгілі, бұл жағдайда, жеткілікті күрделі міндеттері келген элементарлық геометрия іс жүзінде мүмкін емес көмегінсіз эмпирикалық сызба.

Осындай недоумения болды сәтті шешілуі тағы Аристотелем. Иә, геометр талқылайды, қарап нарисованный атындағы тақтада үшбұрыш. Сіз тіпті айтуға болады, ол талқылайды бұл туралы ең бейне үшбұрыш, дегенмен, бірақ, өйткені ол нарисован бормен тақтаға, т. е. емес, өйткені ол кейбір объект эмпирикалық әлем, өйткені бұл үшбұрыш ұйымдастырылған біздің ұсыну бойынша белгілі бір заңдылықтар. Дәлірек айтқанда, бұл эмпирикалық сызба мүмкіндік береді геометру ұстап назар белгілі бір кеңістіктік конфигурациясы. Бұл ретте бізге емес, аса маңыздысы, қабілетті біз ұсынуға үшбұрыш толығымен тегін эмпирикалық сипаттамалары (мысалы, түс) немесе жоқ. Бізге жеткілікті ажырата өзінде эмпирическом нысана кеңістікті-уақыттық сипаттамалары сайын барлық қалған. Сонымен қатар әр түрлі (эмпирикалық тұрғысынан) сызбалар әбден мүмкін берсін бір геометриялық конфигурациясын (бірыңғай гештальт).

Алайда, біз қойып, енді келесі сұрақ: ал шынымен біз қабілетті ажырата білу кеңістікті-уақыттық сипаттамалары сайын барлық қалған? Кант деп сенемін иә. Бірақ приводимый растау үшін осы және жоғарыда аталған ойдағы эксперимент қоймады дәлелдейді қалаған.

Ол тудырады, біздің қиял ғана әлдебір смутные бейнелері (түрлері «білім абстрактылы», Р. Арнхейм байланыстырды импрессионистской сурет). Интерсубъективность осындай білім тудыруы мүмкін елеулі күмән. Айтарлықтай сенімді көрсетеді қызықтырған біз тұрғысынан өздері «деген сөздер «кеңістік» және «уақыт». Өзі тұрақты жұмыс істеуін, олардың тілінде болуын болжайды тұрақты сабақтастығын контексте оларды қолдануға жеткілікті дәрежеде қамтамасыз ететін, өзара түсіністік (емес, кепілдік беретін абсолютті өзгермейтін олардың мағынасы!).

Қалай болғанда да, бұл сөздер айқындайды, өз пәнін хуже, чем слово «математика». Неғұрлым нақты түсіндіре вкладываемого оларға осы сөз мағынасы болуы мүмкін тек өзі мәтін осы сөз. Бірақ не дегенмен қабілетті прояснить біз үшін ойдағы эксперимент Канттың? Қалай болғанда да, жеткілікті беріктілігін және тәжірибеге жағдайларды қолдану сөздердің білдіретін кеңістікті-уақыттық сипаттамалары.

Үшіншіден, белгілі бір пікір талап етеді және бекіту туралы данности геометриялық фигуралардың созерцании. Тағы Эстетика келтірілген атақты мысал тысячеугольником болуы мүмкін емес, ол біз воображен. Бұдан, тіпті осындай қарапайым геометриялық объектілер ретінде «нүкте», «түзу» непредставимы көрнекі түрде дәлме-дәл мағынасында сөздер, өйткені қарапайым ойдағы эксперимент сендіреді бізді непредставимости бірде тым шағын, бірде тым үлкен.

Шын мәнінде, біз нүктесін ұсынуға, бар мөлшерлерін белгілеудің алмаймыз ұсынуға сызықты емес бар қалыңдығын алмаймыз бірден қамтуға ұмтылған бесконечную тікелей. Алайда, бұл кедергі емес, бізге ұсынуға тікелей және нүкте әлі жеткілікті анық үшін алуан бөлігінің геометриялық конструкциялары бір-біріне тікелей «көруге», олардың өзара орналасуы.

Тікелей мүмкіндігіміз бар «көруге» жеткілікті жұқа үшін үдерісінде пайымдау жоқ-жегіне оның қалыңдығын, а нүктесі — жеткілікті шағын үшін ескермеу оның өлшемдері. Шын мәнінде, біз ұсынуға тысячеугольник соншалықты айқын ажырата білу үшін оның көпбұрыш бірнеше үлкен немесе бірнеше аз санмен белгіленеді. Алайда, біз жеткілікті анық ұсынуға оның жағына және біріктіру, оның көршілес тараптар, ал бұл қазірдің өзінде жеткілікті зерделеу үшін математикалық қасиеттерін тиісті конструкцияларына (толығырақ бұл түсіндірілді төмен).

Төртіншіден, бірнеше сөз айтуға уақыты геометрия. Өрнек «кеңістіктік және уақытша конструкциялау» деп түсінген жөн кеңістіктік ұйымдастыруға және переорганизацию элементтерін уақыт. Уақыты кіреді геометриялық конструкциялары ретінде ғана серпіні кеңістіктік элементтер. Уақытында геометрия әрқашан бар, тек қозғалыс кеңістіктік элементтер. Кезінде мұндай жатпайды ғана емес, геометрическому, бірақ және математикалық зерттеу жалпы, иә және қозғалысы жазаланады. Тек подменив уақытта қозғалысын, ал қозғалыс оның кеңістіктік артынан (траекториясын), біз аламыз олардың мәні математикалық зерттеу.

Мәні бойынша, біз зерттеп, бұл уақыт емес, қозғалысы, әсіресе кеңістіктік ұйымдастыру ең траекториясын. Тіпті зерттей отырып қарапайым геометрия, бұл мүмкін салынды көмегімен циркуля және сызғыштар, ал бұл — жоқ, сондай-ақ, біз жасаймыз мәні біздің қарау геометриялық қалыптасуы жазаланады, бірақ керісінше — оқу құралында қарастырылатын атындағы ерекшеліктері кеңістікті ұйымдастыру.

Сонымен, біз кейбір бақылау үстінде қарапайым көріністеріне геометриялық ойлар оның эстетикалық аспектіде. Келесі қадам, әрине, болуы тиіс әрекеті, тарату біздің пайымдау және басқа да, математика, тексеру обнаружим ма және онда, онда тартты назарымызды қарапайым геометриялық мысалдар. Анықтау қажет, қандай дәрежеде еді, — деп бізбен туралы геометрия, қайталауға болады және математикаға мүлдем; бұл сөзбе-сөз қайталауға болады, ал бұл тек mutatis mutandis.

Кант бұл қадам жасайды: сындарлы сипатын математикалық ойлау қабілетін сақтайды тыс геометрия, алайда өзіндік геометриялық, немесе остенсивное, құрастыру ауыстырылады арифметике және алгебра » символдық.

Нәрсе жаңа, салыстырғанда қаралған жоғары өзіндік геометриялық конструированием, біз айқындаймыз қазірдің өзінде мысалында позициялық жазбалар натурал сандар. Бере отырып, қатаң белгіленген түпкі жинағы графикалық таңбалар және белгілі бір ережелер мен оларды құрамдастыру, біз мүмкіндігін көрнекі түрде ұсынуға жеткілікті үлкен натурал сандар және өндірілетін олармен іс-әрекеттер.

Эстетикалық аспектіде барлық арифметика натурал сандар кітапта жүйесі ретінде ұйымдастырылатын жазықтықтағы графикалық символдар. Ұйымдастыру рәміздер арқылы жүргізіледі бірнеше түрлерін айла-шарғы жасау осы символдармен: орналастыру және орын ауыстыру белгілерін ауыстыру бір белгілері басқа. Еске алайық, ең болмағанда көбейту «столбиком» немесе бөлу «бұрышпен». Көрсетілген манипуляциялар мүмкін сипатталған ретінде квазигеометрические, өйткені ұсына отырып, өзара операциялар графикалық белгілері ретінде целостными білімді, өзіндік геометриялық олар жоқ болып табылады. Геометриялық конфигурациясы сол белгінің мұнда мүлдем неважна, тек оның ыңғайлылығы тұрғысынан оңай жазу, ауыс-түйістер және ауыстыруларды, сондай-ақ жеткілікті айырмашылығы басқа да белгілерін аясында сол.

Жұмыс аса бай және әр түрлі алгебралық графикамен сондай-ақ, мүмкін охарактеризована ретінде айла-шарғы жасау графикалық символдармен. Қарастырайық мысал ретінде бір қарапайым алгебралық құрылымдарды — топқа. Топ — бұл элементтерінің жиынтығы ретінде графикалық символдарды пайдалануға болады латын әліпбиінің әріптері) ережесі, айла-шарғы жасау отырып, қойылады жәрдемақы, атаулы аксиомами:

(G1) екі элементтері х және y жасауға болады жаңа графикалық символы x•y;
(G2) графикалық символдар (x•y)•z-x•(y•z) объектілері бойынша;
(G3) арасында топ элементтерінің бар элемент деп аталатын бейтарап, ол белгілейміз e , осындай, бұл бар, оның графикалық символдар x•e , e•x мен x-фактуралар;
(G4) бірге элементі x элементі бар, деп аталатын кері x, белгілейміз x’, осындай, бұл рәміздер x•x’, x,’•x-e болып табылады сипаты.
Барлық аксиомах x, y және z — еркін элементтері. Дәлелдемелер қандай да бір тұжырымдарға қатысты топтарын білдіреді разворачивание белгілі бір квазигеометрических конструкциялар. Бұл көрсету белгілі бір ерекшеліктерін манипуляция графикалық символдармен сақтаған. Қарастырайық, мысалы, дәлелі бейтарап элемент жалғыз.

Көрсетіледі, бұл кез-келген екі графикалық символды бейнелейді бейтарап элемент, бірін-бірі алмастырады. Шын мәнінде, бұл рәміздер e және f. Сонда ережесіне сәйкес (G3), f взаимозаменяем e•f, ал бұл соңғы символы — e, демек, e және f бірін-бірі алмастырады. Алдымызда манипуляционное негіздемесі, оның негізінде әрқашан өтірік қарапайым манипуляциялар үлгідегі «подставить» орнына болып табылатын формальды емес, геометриялық айқын іс-әрекеттерімен. Түсіну, олар нені білдіреді, әрқашан негласно көзделіп отыр.

Н. Малкольм сақтап мынадай ой Витгенштейна: «Дәлелдеме математика ерекшелігі теңдеуі жазылады. қағазда қарап, бір көрінісі туындамаса басқа. Бірақ әрқашан барлығын күмән білдіру пайда болып, қағазға онда өмір сүре алмайды ешқандай дәлел де, ең математика». Еске сондай-ақ сөздер. Вейля: «Тәсілі қандай математик жүгінеді, өз формулалары, салынған белгілердің, сәл айырмашылығы сол, ұста өз шеберханасынан жүгінеді ағашпен және рубанком, арамен және желіммен».

Эстетикалық аспектіде, геометриялық және математикалық дәлел жалпы, кітапта қалай көрсету, т. е. тікелей көрсетілімі қалай қосылады «құралған, сөздері» элементтері тиісті математикалық конструкция. Нәтижесі сол математикалық дәлелдемелер — математикалық бекіту — бар, «такфирлер» алғашқы бізді аспектіде бекіту ерекшеліктері туралы қосылыстар элементтерінің математикалық конструкция, ол біз мүмкіндігіне ие болды «көру» процесінде дәлелдемелер. Кездейсоқ емес математикалық бекіту атауына ие болды теорема (theorema), т. е. «көрініс», «қарайды».

Белгілі болғандай, ең веский аргумент үшін кәдуілгі ойлау естіледі шамамен мысалы: «Мен өзім көрдім, сөйлей — бар және қара». Назар аударуға тұрарлық факт, бұл ең дәл бірі-теориялық ғылымдар — математика, құрамдас бөлігі ретінде диаметральную қарама-қарсы обыденному білу, тартады айғақтық күші өзінің ойлау тікелей көрнекілік, өз пәнін, т. е. сондай-ақ, мүмкіндіктері көру «өзіне» және «көрсету басқа». Болады тіпті, бұл шынайы убедительностью, шынайы дәлелді күшке ие ғана көрсету (тікелей көрсетілім). Бұл Шопенгауэр: «Соңғы, яғни исконная шынайылығы, — созерцаема, бұл көрсетеді өзі»деген сөз.

Егер жоқ талқыланған жоғары табиғи шектеулер мүмкіндіктерін біздің көрнекі ұсыну кеңістіктік-уақыттық қарым-қатынастар (қабылдауға тым үлкен, тым шағын және т. б.), онда, мүмкін, және математикалық дәлелдемелер, сонымен қатар теориялық математика туындаған жоқ еді. Математиктерге берілмейді қажет болды еді баруға бұдан әрі лаконичного «қара» көне индийцев немесе перегибания сызба (қалай, сірә, обосновывал геометриялық бекітудің тағы Фалес). Біз батыл, артынан Шопенгауэром, возмутиться хитросплетениями дәлелдемелерді қарама-қайшылық, өндірілетін Евклидом, онда жеткілікті тек перегнуть сурет, және деп болжауға ең үздік негізделген теорема Пифагора болып табылады сәтті сызба қандай да бір түсіндірмелер.

Алайда, көрсетілген шектеулер бар, және дәл обговаривание тиісті сызбалар және олардың ерекшеліктерін знаменовало рождение математики тап. Бірақ математика алмас едік енгізуге жеткілікті алыс өз зерттеулерінде ғана емес, үйренді жүзеге асыратын да, сөздік пайымдау » квазигеометрические символдық құру, т. е. алмас едік жаңадан арқа сүйеп геометриялық шынайылығы, бірақ жаңа сапалы деңгейде.

Дәл сөз (logos) ғана көрсетіледі байланыстырушы буын мүмкіндік беретін қадам басу жылғы геометриялық құрастыру — квазигеометрическому айла-шарғы графикалық символдармен. Арқылы «ұғымын ойлау, — дейді Г. Рейхенбах, — біз көшу бейнені к преобразованному созерцанию. Адами ақыл-ой қабілетіне ие, сондықтан айтуға, «перехитрить» визуалды бейнелер арқылы абстрактілі ұғымдарды, содан кейін продуцировать жаңа бейнелер».

Қазірдің өзінде шешу кезінде қарапайым міндеттерді геометрия қатар өзіндік геометриялық конструированием жүйелі түрде қолданылады және квазигеометрическое құрастыру.

Қайтып мысалы, тысячеугольником, бұл, әрине, дегенмен, оны көрнекі түрде ұсыну мүмкін емес дәрежеде, қандай ол жүзеге асырылатын болса, үш — немесе пятиугольника, алайда, сақтап, сындарлы сипаты тиісті ойлау оңай сәті енгізу арқылы алгебралық рәміздер мүмкіндік беретін айтысып арақатынасы туралы бұрыштар және кесінділер тиісті конфигурация санына қарамастан, тараптардың, сондай-ақ ажырата неразличимые көрнекі ұсыну многоугольники бастап мың және мың екі тараптар. , Онда геометриялық көрнекілігі бізге бас тартады, біз арқа сүйеп көрнекілігі квазигеометрическую. Бұл ретте, біз ауытқу (абстрагироваться) қалыңдығы геометриялық сызықтар мен мөлшерін, геометриялық нүктелер, біз абстрагируемся және нақты кескінін пайдаланылатын бізбен алгебралық белгілерді сосредотачивая ғана аударды жүйесіндегі кеңістіктік-уақыттық қарым-қатынастар, олардың көмегімен берілетін.

Бұл математик айналысады, бұл ретте осы кеңістікті-уақыттық қарым-қатынаста, жақсы кесінділермен кең қолдану арқылы математика аксиоматического метода. Өйткені, оның басты идеясы тұрады мәліметтерді анықтау объектінің нұсқауы қатынастар жүйесін, олардың объектісі болуы мүмкін басқа объектілермен бірдей теориясы.

Сонымен, эстетикалық аспектіде математикалық ойлау кітапта алдымызда ретінде кеңістіктік және уақытша конструкциялау, ол бола алады не нысанында өзіндік геометриялық құрастыру немесе квазигеометрическое құрастыру, т. е. айла-шарғы жасау графикалық символдармен.

Нені зерттейді математика не үшін қажет?

Кеңістік-уақытша құрылымдар.

Ол қалай бұл?

Арқылы жазу батырмасына кеңістіктік-уақыттық конструкциялардың басқа.

Мұндай көзқарас, табиғатқа математика мүмкін охарактеризован ретінде пангеометризм. Оған түсіну кілті ерекшелігі математикалық ойлау болып табылады бейнелі аспект математика, ұғымдық-логикалық сол аспект қарайды, бұл ретте қайталама.

Математика мистиков, философтардың, ақындар мен дәстүрлі математика тарихы (Орнына қорытынды)
Разворачивание математикалық кеңістіктік-уақыттық конструкцияларын қабілетті тудыруы ерекше сұлулық сезімі, ол күмән жоқ болып қызмет атқарады маңызды психологиялық ынталандыру ретінде кәсіби және әуесқой спортпен математикамен. Кез-келген шынайы сұлулық, математикалық ашып ие магическим обаянием. Ол қабілетті құру бізді сезім жанасу құпия, ал кейде діни ойлау.

Бұл қатесіз угадал әсіресе сезімтал осындай заттарға Новалис (Фридрих фон Гарденберг, 1772 – 1801 жж.). Оның «Фрагментах» (бірінші кезекте бар түрі «әнұран — математика», деп атады Вильгельм Дильтей) біз табамыз отчетливое білдіру осы ойлар: «Шынайы математика — шынайы стихия б. Нағыз математик бар энтузиаст per se. Жоқ, ынта жоқ, математика. Өмір құдайлар бар математика. Таза математика — бұл дін. Шығыстағы шынайы математика өз отанында. Еуропада ол выродилась «тұтас техникасы».

Новалис сенімдімін ақын түсінеді табиғатты жақсы ғалым. Емес, ғалым және құрылған оның арқасында техникасы берілді меңгеру дүниесін, бірақ ақынға, дұрыс расслышать сокровенный ритм дүние. Емес, сырттан емес, ішінен обретается. «Айқын» математика Новалиса — бұл математика, ол мүмкіндік береді, нақтырақ байқай бұл жасырын ырғағы. «Кез келген әдісі бар ритм: егер кімде-кім тигізген ритмом әлем, демек, ол тигізген әлеммен. Бізде кез келген адамның өзінің жеке ырғағы. Алгебра — бұл поэзия. Ырғақты сезім бар гений».

Қазіргі математикалық мәдениеті аз бар бізді түсінуге қатар, бұл шынайы математика (ол сол уақытта бар, шынайы поэзия, шынайы дін мен шынайы магия), сонымен қатар кездесудің мақсаты қазақтың салт-дейді Новалис. Мүмкін сондықтан да біз жаман түсінеміз және математика пифагорейско-платонической дәстүр, сондай-ақ басқа да көптеген феномендері еуропалық рухани мәдениет осындай ерекше біз үшін жабындысының математика және дамыта оқыту. Және бұл жерде ғана емес, мәдени гордыне қанша нақты кедергілер кедергі келтіретін шығу — мәні болмысын өзге мәдениет.

Мысал, бұл көру мүмкін емес қазіргі заманғы математика жүгінген «қосалқы тарих беттері» береді кітап Дэна Пидоу «Geometry and the Liberal Arts» (1976). Авторға ғана қалады огорчаться, біз жоғалтқан қабілеті таң қалу табиғатпен қарапайым геометриялық фигураларды, және деп үміттенеміз «неопифагорейские оқу-жаттығудың барлық алады тарату, мәдениет, болашақ ұрпақтардың».

Әрине, неғұрлым табысты мойындау керек талпыныстары П. А. Флоренского және А. Ф. Лосева, олар мыналар басты вдохновителями біздің қызығушылық осы саладағы, бірақ мұқият танысу, олардың еңбектерімен тағы да сендіреді қаншалықты елеулі қиындықтарды еңсеруге тура келеді осы жолда.

Мартин Дайк, монография авторы, арналған математикалық фрагментам Новалиса, — дейді өз кітабында: «Осы зерттеу бір жағынан қабылдауы үшін математиктер-кәсіби мамандар, олар орын алуы мүмкін танысуға фрагменттерімен Новалиса және табу, бұл математикалық ұғымдар қолданылады мындасыз, жақсы немесе жаман, бірақ мұндай пәндер, қабылданды қарауға математикалық емес төселеді шеңберіне қалыптасқан математикалық ұғымдарды, және бұл склонять оларды шығару туралы, оның ішінде мұндай фрагменттері, бәлкім, болуы мүмкін қандай да бір мағынасы. Қабылдауға болады, басынан бастап, бұл қатысты математика фрагменттері философичны, бірақ техничны. Тұрғысынан қатаң математика олар неточны (unrigorous), произвольны (arbitrary) енгізеді ешқандай салым техникалық аспектілері математикалық ғылым. Үлгермейді Новалис енуге керемет бойынша өз стройности ғимараты математика, ретінде көрсетіледі, ол үлгерді заңсыз түрде кеңейту, оның шекарасы (transgressed its boundaries), углубившись джунгли философиялық идеялар, олар бірде-бір математик бола отырып, математик, шешіледі, олар тұтынған, қауіптену, бұл топырақ онда тым зыбкая (the ground too slippery) және дәлелдеме бессильно укротить (and prove defenceless among) жабайы аңдар мекендеп, бұл қара».

Ниет білдіре отырып, қадағалап, ұшар ой Новалиса, уводящей біз бұл бағытта біз онсыз тұрақты оглядки ресми түрде қабылданған нәтижелері, тұрақты сәйкестендіру жалпы қабылданған мазмұнымен, сол математикалық облыстардың ол вторгается, бірақ «бізге керек, бұл ресми стандарттары ретінде абсолюттік және жарамды кез-келген жағдайды өлшемдерін (measuring as rods with absolute and exclusive value)», содан кейін «, оның бірінші көзқарас фантастичных идеялары математикаға болады сынып оқушысы илья немеренконы құттықтаймыз терең прозрения табиғаты туралы осы ғылым».

Онда, дейді М. Дайк туралы қазіргі заманғы математика-профессионале, мүмкін, өкінішке орай, тым жиі повторено және қазіргі заманғы историке математика, үстінен, олар сондай-ақ толық бар билік стереотиптер кәсіби математикалық білім беру. Нәтижесінде, біз мүлде өте нашар білеміз «қосалқы» тарих беттері математика, ал жаман представляем себе, олардың дамуындағы ролі деп орналастырылады біз «негізгі» оның беттерінде. Кітап М. Дайка білдіреді тезірек ережеден гөрі ерекшелік болып табылады. Бірақ қандай априори деп айтуға рөлі бұл үлкен емес, біз әрең білеміз, адам сол, кімнің рөлі асығамыз умалить?

Тарихи зерттеу сөзсіз көздейді материалды іріктеу. Мәдениет тарихы болуы мүмкін уподоблена күрделі паутине, онда әрбір мәдени оқиға бар «узелок» байланысты необозримым саны, нәзік «жіптер» басқа «қайтпаңдар». Сондықтан, кез-келген зерттеу осы «тор» тұрады бөлу негізгі «узелков» және олардың арасындағы байланыстар мен игнорировании екінші дәрежелі.

Алайда, ауыр күмән тудырады мүмкіндігі барабар және бір мәнді бағалау «көз» қандай «түйіндер» мен қандай «жіптер» болып табылады. Қатысты «көзбен қабылдау» мұндай «тор», қарағандалар, мүмкін және тиіс байқалуы белгілі әсері ауыстырып көру гештальта. Бұл ретте ауыстырған таңдау негізгі «узелков» және «жіп» мүмкін айтарлықтай өзгереді. Қандай конфигурациясы «тораптар» және «жіп» біз бөлеміз бірі необозримого көптеген барлық мүмкін байланысты біздің қондырғылар. Біз «көреміз» («профиль» немесе «вазу») байланысты….. Біздің математикалық білім дайындап, бізді сол үшін әрқашан көріп, «профиль» ешқашан «вазу», бірақ бұл дегенді білдірмейді, бұл бірінші білдіреді барабар бөлу негізгі, ал екінші — жоқ. Әдебиет осы баяндаманың ретінде алуы туралы еске салу мүмкіндігін қарап ретінде өзіне математика және оның тарихы sub specie artis, яғни, «көре вазу», онда әдетте көріп ғана «профиль».

Тағы бірнеше мысал келтірейік дәстүрлі түрде «қосымша» тарих беттерінен математика, жүргізіп отырған біз тұрғысынан көрсетіледі, оның ішінде негізгі.

Туралы йенском профессоре математика және астрономия Эрхарде Вейгеле (Erhard Weigel, 1625 – 1699 ж. ж.) болады қазір естуге негізінен байланысты өмірбаянымен Лейбниц, ол көрсетті даусыз әсері. Бір кездері «әлемге әйгілі», «знаменитейший математика профессоры» құрған » Йене күшті мектепке математика және физика кафедрасы қазіргі уақытта іс жүзінде толығымен ұмытылған. Үшін Морица Кантора математика Вейгеля ғана мысал өзіне тән үшін неміс университеттерінің уақыт болмаған қажеттілігін математика. Қазіргі уақытта көптеген жұмыс Вейгеля іс жүзінде мүмкін емес табу кітапханаларда, олар переиздаются және ауыстырылмайды. Сирек қай энциклопедическом сөздікте табасың туралы бап нем. Неге олай? Ал, оның қандай математикамен айналысты Вейгель.