Соңғы элементтер әдісі

Соңғы элементтер әдісі (ММЭ) құрылымдарды есептеу теориясында ерекше орын алады, ал оны жинақтау – суперэлементтер әдісі – иерархиялық құрылған күрделі жүйелердің идеясына табиғи түрде енгізуге және сипаттауға мүмкіндік береді.

Тіректері іргетастарда қатты қорғалған, ал ригельдер тіректерге қатты бекітілген Өнеркәсіптік ғимарат қаңқасының жазық жақтауын қарастырайық. Рамға тек тораптық жүктеме әрекет ететін жағдайды қарастыруды шектейміз. Түйіндерді – өзекшелердің осьтерінің бір-бірімен және «жермен» қиылысу нүктелерін нөмірлеңіз. I раманың әрбір торабында оған FX , Fy шоғырланған күштері және Рама байланысты координаталардың кейбір жаһандық жүйесінде берілген М сәті әсер етуі мүмкін.

I тораптағы рамаға әрекет ететін қорытылған күштің {Fi} векторын қарауға енгіземіз

(1)

Барлық рамаға сыртқы әсерлердің жиынтығы {F векторымен сипатталады}:

(2)

Мұнда N-рама түйіндерінің саны. Бұл вектордың көлемі 3хN (кейбір тораптардың «жерге» Бекітілу фактісін ескермейінше). Сыртқы күштердің әсерінен раманың өзектері деформация алады, ал түйіндер ауыстырылады. Рама тораптарын ауыстырғаннан кейін координаталардың Ғаламдық жүйесінде сипаттаймыз. Әрбір түйіннің {di} орнын ауыстыру үш санмен сипатталады – d xi , d yi сызықтық орын ауыстырулармен және D I түйінінің жалпыланған орын ауыстырулар векторының құрамдас бөлігі болып табылатын J i бұрылу бұрышымен сипатталады. :

(3)

Барлық раманың d векторымен жылжуы :

(4)

Мұнда, жоғарыда сияқты, рамалар мен тораптардың тіреулерін бекіту шарттары ескерілмейді.

Әрбір өзектің кернеулі-деформацияланған жай-күйін онымен байланысты жергілікті координаттар жүйесінде сипаттауға ыңғайлы. Осы координаттар жүйесінің х ‘ осі q өзектің «басынан» оның «соңына» R («басы» және» соңы » ұғымы шартты және х ‘осіне оң бағыт беру үшін ғана қажет), у’ осі – рама жазықтығында, ал z’ осі – жазықтыққа перпендикуляр. Y’ және z ‘осьтерінің оң бағыттарын олар x’ оң координаттар жүйесін құратындай етіп таңдаймыз.

Әрбір өзекшеде рама 2 көлденең қимадан q және r өзекшелерінің түйін – ұшына шексіз жақын қашықтықта жүргіземіз . Алынған шешімдердің әрқайсысында жалпы жағдайда торапқа салынған n, Q, M үш күш әрекет етеді. ‘M өзегі бар қимада жалпыланған күш векторын енгіземіз:

(5)

Және күш векторы («басында» және «соңында) q және r соңғы өзекшелерінде күш векторлары арқылы m өзекшесінің кернеулі қимасын сипаттайтын {fm}”)

(6)

(штрих {fm’} компоненттерінің жергілікті координаттар жүйесінде есептелгенін білдіреді).

{Fm’} векторы өзектің ішкі нүктелеріне сыртқы әсер етпесе және өзектің қатты қабырғалы сипаттамалары белгілі болса, өзектің кернеулі-деформацияланған жай-күйін толық сипаттайды. Әрине, {fm’} векторының алты компоненті өзекшенің қатты дене ретінде тепе-теңдік теңдеулерімен өзара байланысты, бірақ бұл теңдеулер айқын түрде бұдан әрі қолданылмайды.

Сол өзектің кернеулі-деформацияланған жай-күйі вектордың тиісті компонентінен құрылатын Q және r өзекшесінің ұштарын жалпыланған жылжыту векторымен сипатталады.):

(7)

Өзекшелердің жалпыланған жылжу векторын осындай енгізгенде оның кернеулі деформацияланған күйі тек {dm} мәндеріне ғана емес, сонымен қатар m өзекшелерін q және к тораптарына бекіту тәсілдеріне және оның қаттылығына байланысты.

Мысалы, егер q ригельдің соңы шарнирно тірегіне жалғанса, онда q қимасындағы М күші {dm} компонентінің мәндеріне қарамастан нөлге тең болар еді.

{Fm’} векторының компоненттері есептеудің жергілікті жүйесінде, ал {dm} векторының компоненттері – жаһандық жүйесінде берілген. {Fm’} және {dm} векторларының байланысын анықтау үшін қарапайым түрдегі {dm} компоненттерін де жергілікті санақ жүйесінде жазамыз. Координаталарды түрлендіру матрицасын белгілейміз